فرض کنیم دوستان همچون من فرمول حجم هرم را فراموش کردهاند. خیلی راحت با استفاده از شکل زیر و اینکه حجم هرم برابر حدِ جمع ضرب مساحت مربع در درازای قسمت جزئی ارتفاع هرم میشود که این مربعها اندازهٔ یالشان متناسب با فاصلهشان از نوک هرم است، زمانی که این قسمتهای جزئی به صفر میل کنند، از یک انتگرال فرمول حجم هرم را میتوانید بدست بیاورید.
فرض کنید فرمولِ یک هرم با قاعدهٔ مربع با یال به درازای $L$ و ارتفاع به درازای $h$ را میخواهید.
$$\int_0^h(\frac{y}{h}L)^2dy=\frac{L^2}{h^2}\int_0^hy^2dy=\frac{L^2}{h^2}(\frac{h^3}{3}-0)=\frac{L^2h}{3}$$
نسبتی که شما میخواهید نسبت حجم شکلی است که تفاضل کل هرم (با ارتفاع ۱۰۰) و هرمی با ارتفاع $۱۰۰-۷۵=۲۵$ است، به حجم کل هرم.
اکنون نسبت خواستهشده را مییابیم.
$$\frac{\frac{100a^2}{3}-\frac{25(\frac{25}{100}a)^2}{3}}{\frac{100a^2}{3}}=\frac{100-25(\frac{25}{100})^2}{100}=\frac{(100)^3-(25)^3}{(100)^3}=\frac{984375}{1000000}=\frac{63}{64}$$
