محاسبه حجم مخروط ناقص

Question

حجم مخروط ناقص را محاسبه کنید

مخروط کامل با قاعده دایره میباشد

Answer 1

توجه کنید که با توجه به اصل کاوالیری حجم شکلی که می‌خواهید با حجم مخروطی که هم‌ارتفاع (عمود متصل کنندهٔ نوک شکل/هرم به صفحهٔ حاویِ شکل قاعده‌اش) آن باشد برابر است. حجم یک مخروط نیز برابر با $\frac{1}{3}Sh$ است که در آن $h$ اندازهٔ ارتفاع و $S$ مساحت قاعده است. اندازهٔ ارتفاع را سریع‌تر می‌توانید تشخیص دهید پس نخست به سراغ آن می‌رویم. $h$ در واقع فاصلهٔ نقطهٔ $D$ از خط $AC$ است. این خط دارای معادلهٔ $y=z+2$ و $x=0$ است (از اینجا می‌توانید حدس بزنید که نام محورها را به چه ترتیبی گرفته‌ام). مختصات نقطهٔ $D$ نیز $(0,5,6)$ است، پس می‌توان با حالت دوبعدی صفحهٔ $yoz$ کار کرد. معادلهٔ خط را به شکل $y-z-2=0$ بنویسید، داریم؛ $$h=\frac{|(1)(5)+(-1)(6)+(-2)|}{\sqrt{(1)^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$ اکنون به سراغ $S$ برویم. معادلهٔ مخروط اصلی برابر است با $x^2+(y-5)^2=\Big(\frac{3}{6}(z-6)\Big)^2$. قاعدهٔ شکلی که می‌خواهیم بیضی‌است که از قطع دادن این مخروط با صفحهٔ $y=z+2$ و $x$-ِ آزاد بدست آمده که معادله‌اش با دو برابری (تساوی) بیان می‌شود؛ $$y=z+2,\;\frac{x^2}{3}+\frac{(z-2)^2}{4}=1$$ (برابری دوم از جایگذاریِ $y=z+2$ در معادلهٔ مخروط بدست آمده‌است).

توجه کنید که اگر در حالت دوبعدی بودیم یعنی یکی از متغیرها صفر می‌بودمثلا $y=0$ آنگاه از برابریِ دوم مقدار $a$ و $b$ بیضی را داشتیم. ولی اینجا روی یک صفحهٔ مورب هستیم و به $a$ و $b$مان یک ضریب scaler (منبسط-منقبض کننده) می‌خورد. از آنجایی که خیلی راحت از شکل می‌توانید حدس بزنید که مقدار اصلی $a$ باید $\frac{4\sqrt{2}}{2}$ باشد، پس مقدار این ضریب $\sqrt{2}$ است. پس داریم $a=2\sqrt{2}$ و $b=\sqrt{3}\sqrt{2}=\sqrt{6}$. در آخر مساحت بیضی برابر بود با $\pi ab$، پس $S=4\pi\sqrt{3}$. و حجم خواسته‌شده؛ $$\frac{1}{3}(4\pi\sqrt{3})(\frac{3}{\sqrt{2}})=2\pi\sqrt{6}$$

Comments

کلید مسئله اصل کاوالیری و بیضی بودن سطح قائده بود.
از طرف سر مخروط هم میتوان با صفحه ای برشی دیگر زد و در این صورت مسئله کمی سختر بنظر میاد.

---

مساحت بیضی را بررسی کنید.
مساحت بیضی:
$$2\sqrt{6} \pi$$

---

@salar چگونه به این اعداد رسیدید؟ هر دو عدد جالب هستند. مساحتتان برابر با حجمی است که ارائه شده است و ارتفاع‌تان «بعلاوهٔ یک» دارد، فکر نکنم در صورت کسری که برای محاسبهٔ ارتفاع آورده‌ام عاملی دارای جذر دو بتوان نشاند که نتیجه جمع گنگ و گویایی بشود.

---

از ارتفاع فاکتر اشتباه گرفته بودم
ارتفاع محاسبه شده درست است ولی برای مساحت بیضی که فرمول مشخص است پاسخ را میگذارم بررسی کنید

---

حال کدام پاسخ درست است تا انتخاب کنم؟
لطفا نظر دهید.
ممنون

Answer 2

برای قطر بزرگ بیضی $2b$:

$$2b=AC=\sqrt{(4-0)^2+(6-2)^2}=4\sqrt{2}$$

برای قطر کوچک بیضی $2a$:

ابتدا مرکز ثقل بیضی را میابیم و دایره گذرا از مرکز ثقل و موازی دایره مخروط کامل با بیضی یک پاره خط مشترک دارد که وتر دایره محسوب میشود.

$$\frac{(A+C)}{2}=(2,4)$$ $$a^2=1 \times 3 \rightarrow a=\sqrt{3}$$

مساحت بیضی:

$$S=ab\pi=2\sqrt{2} \sqrt{3} \pi=2\sqrt{6} \pi$$

ارتفاع مخروط ناقص:

$$h=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$

حجم مخروط ناقص:

$$V=\frac{1}{3}.S.h=\frac{2\sqrt{6} \pi \times 3}{3\sqrt{2}}=2\sqrt{3} \pi$$

Comments

چون محاسبات دایره راحتتر است و دایره و بیضی یک پاره خط مشترک دارند که همان قطر کوچک بیضی است.

---

@salar چرا باید زاویهٔ بین دو پاره‌خط وصل‌کنندهٔ نقاط برخورد بیضی و دایره به مرکز دایره ۹۰ شود؟
تعریف یک وتر دایره این است «پاره‌خطی که دو انتهایش بر روی محیط دایره باشد»، برای بدست آوردن درازای وتر با کمک اندازهٔ شعاع دایره، باید زاویهٔ بین دو شعاع متصل به دو انتهای وتر را بدانید!

---

چون در صفحه بیضی قطر کوچک و بزرگ بر هم عمودند و قطر کوچک بر صفحه $AHD$ عمود است پس بر هر خطی در این صفحه که نقطه مشترک با قطر کوچک دارد عمود است در نتیجه قطری که منظور کرده ایم در این صفحه است و با قطر کوچک بیضی نقطه مشترک دارد.

---

@salar پیشنهاد می‌کنم یک مخروط کاغذی درست کنید و چند تا بیضی متفاوت با قطع دادن صفحه‌های دلخواه رویش رسم کنید و ببینید که قطر کوچک بیضی‌ها الزاما با مرکز دایره‌های کوچکی که می‌گوئید زاویهٔ قائمه نمی‌سازند. موفق باشید.
در مورد استدلال‌تان هم چند تا پاره‌خط بر هم عمود هستند ولی نتیجه‌ای پیرامون پاره‌خط‌‌های واصل انتهای قطر کوچک بیضی به رأس دایرهٔ کوچکتان نداده‌اند. خودتان دیدگاه‌تان را بخوانید می‌بینید چیزی در مورد حکم‌تان نیاورده‌اید. لطفا پیش از دیدگاه بعدی‌تان یک زمانی وقفه بیندازید و متن‌تان را پیش از قرار دادن سبک‌سنگین کنید. @admin @fardina @erfanm

---

دقیقا همین کار را قبل از پاسخ دادن انجام دادم و میدانم که شما هم انجام داده اید ولی چرا به نتیجه مشترکی نمیرسیم؟ نمیدانم؟