مثالی که $M \underset R\otimes -$ دقیق چپ نباشد.

Question

$R$مدولی مثال بزنید که $M \underset R\otimes -$ دقیق چپ نباشد.

Comments

لطفا از امکان تایپ ریاضی استفاده کنید.
بهتره حتما قسمت های راهنمای سایت و تایپ ریاضی رو مطالعه کنید.

Answer 1

$ \varphi : \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z $ را با ضابطه ی $x \longmapsto 2x $ را در نظر بگیرید این همریختی یک به یک است حال قرار دهید$M= \frac{ \mathbb Z}{ 2\mathbb Z} $ لذا $ \mathbb Z $ همریختی $ \varphi ^{'} : \frac{ \mathbb Z}{ 2\mathbb Z} \underset R\otimes \mathbb Z \rightarrow \frac{ \mathbb Z}{ 2\mathbb Z} \underset R\otimes \mathbb Z $ را داریم که $i \otimes n \longmapsto i \otimes 2n$ اما:

$$ i \otimes 2n= 2i \otimes n = 0 \otimes n =0 $$

لذا یک به یک نیست پس $ M \underset R\otimes - $ دقیق چپ نیست