به برهان خلف فرض کنیم مساله ی فوق دارای جواب بهینه ای در نقطه ی $ x^{0} $ باشد.چون مساله ماکزیمم سازی است پس مقدار بهینه تابع هدف با حرکت در جهت بردار گرادیان(بردار $c$) بدست می آید.چون مجموعه ی $S$ باز است,پس هر نقطه ی آن درونی است و لذا از نقطه ی $x^0$ در راستای بردار $c$ می توانیم حرکت کنیم.طبق تعریف مجموعه ی باز ,$ \delta > 0 $ وجود دارد بطوریکه $N_ \delta (x^0) \subset S$(توجه دارید که $N_ \delta (x^0)$ یک همسایگی به مرکز $x^0$ و شعاع $ \delta $ است).پس با حرکت در جهت بردار گرادیان از نقطه ی $x^0$ به نقطه ی دیگری می رسیم که به ازای آن مقدار تابع هدف بیشتر از $Z(x^0)$ می شود که $Z$ مقدار تابع هدف می باشد.که این در تناقض با بهینه بودن $x^0$ است.
پس مساله فوق نمی تواند جواب بهینه داشته باشد.
