فرض کنید که معادله جواب دارد یعنی عددی طبیعی مانند $n$ وجود دارد که:
$n(n+1)(n+2)(n+4)(n+4)=223,344,334,422$
حالا توجه داریم که:
$n^5<n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)<(n+4)^5 \Rightarrow n^5<223,344,334,422<(n+4)^5$
$ \Rightarrow n< \sqrt[5]{223,344,334,422} \simeq 186.12<n+4 \Rightarrow [n] \leq [186.12] \leq [n+4]$
$n \leq 186 \leq n+4 \Rightarrow 182 \leq n \leq 186 \Rightarrow n=182 \vee 183 \vee 184 \vee 185 \vee 186$
$if:n=182 \Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=210874940640 \neq 223,344,334,422$
$if:n=183 \Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=216668208240 \neq 223,344,334,422$
$if:n=184 \Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=222588104640 \neq 223,344,334,422$
$if:n=185 \Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=228636694440 \neq 223,344,334,422$
$if:n=186 \Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=234816064560 \neq 223,344,334,422$
بنابر این معادله در اعداد طبیعی جواب ندارد.صفر هم جواب نیست.چون ضرب هر پنج عدد منفی منفی است پس در اعداد صحیح منفی هم جواب ندارد.
$ \Box $
