به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
45 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Vahidi fard (248 امتیاز)

طراحی خودم برای علاقه مندان به نظریه اعداد:

ثابت کنید معادله زیر در مجموعه اعداد صحیح دارای ریشه نمی باشد. $ n(n+1)...(n+4)=223344334422 $

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط Vahidi fard (248 امتیاز)
انتخاب شده توسط Vahidi fard
 
بهترین پاسخ

می دانیم از بین 5 عدد صحیح متوالی، حتماً یکی بر 5 بخش پذیر است امّا عدد 2233443322 بر 5 بخش پذیر نیست؛ بنابراین معادله جواب ندارد.

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

فرض کنید که معادله جواب دارد یعنی عددی طبیعی مانند $n$ وجود دارد که:

$n(n+1)(n+2)(n+4)(n+4)=223,344,334,422$

حالا توجه داریم که:

$n^5< n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)< (n+4)^5 \Rightarrow n^5< 223,344,334,422< (n+4)^5$

$ \Rightarrow n< \sqrt[5]{223,344,334,422} \simeq 186.12< n+4 \Rightarrow [n] \leq [186.12] \leq [n+4]$

$n \leq 186 \leq n+4 \Rightarrow 182 \leq n \leq 186 \Rightarrow n=182 \vee 183 \vee 184 \vee 185 \vee 186$

$if:n=182 \Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=210874940640 \neq 223,344,334,422$

$if:n=183 \Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=216668208240 \neq 223,344,334,422$

$if:n=184 \Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=222588104640 \neq 223,344,334,422$

$if:n=185 \Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=228636694440 \neq 223,344,334,422$

$if:n=186 \Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=234816064560 \neq 223,344,334,422$

بنابر این معادله در اعداد طبیعی جواب ندارد.صفر هم جواب نیست.چون ضرب هر پنج عدد منفی منفی است پس در اعداد صحیح منفی هم جواب ندارد.

$ \Box $

توسط Vahidi fard (248 امتیاز)
روش راحت تر چنین است: از بین هر ۵ عدد صحیح متوالی حتما یکی بر ۵ بخش پذیر است در صورتی که عدد ۲۲۳۳۴۴۳۳۲۲ بر ۵ بخش پذیر نیست بنابر این معادله جواب ندارد.
توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
بله.درسته.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...