Question

می‌دانیم معادله زیر فقط یک ریشه حقیقی دارد.نشان دهید مجموع ارقام$$ \frac{100}{x} $$ برابر $12$ است : $$ \frac{1}{2-x} = ( \frac{2}{3}) ^{-3+1.5x} $$

Answer 1

$ \frac{1}{2-x} =( \frac{2}{3} )^{-3+ \frac{3}{2} x} \Rightarrow 2-x=( \frac{3}{2} )^{-3+ \frac{3}{2} x} \Rightarrow (2-x)( \frac{3}{2} )^{(3- \frac{3}{2} x)}=1$

$ \Rightarrow (2-x)e^{(3- \frac{3}{2} x)Ln( \frac{3}{2} )}=1$

حالا قرار دهید:

$u=(3- \frac{3}{2} x)Ln( \frac{3}{2} ) \Rightarrow 3- \frac{3}{2} x= \frac{u}{Ln( \frac{3}{2} )} \Rightarrow 1- \frac{1}{2} x= \frac{u}{3Ln( \frac{3}{2} )} \Rightarrow 2-x= \frac{2u}{3Ln( \frac{3}{2} )} $

$ \Rightarrow \frac{2ue^u}{Ln( \frac{3}{2} )}=1 \Rightarrow ue^u= Ln(\frac{3}{2} ) \times \frac{3}{2}=Ln( \frac{3}{2} ) \times e^{Ln \frac{3}{2} }$

حالا چون معادله اولیه بر حسب $x$ یک جواب دارد و برای هر $x$ دقیقن یک $u$ به دست می آید پس معادله اخیر که بر حسب $u$ است دقیقن یک جواب دارد که برابر $Ln \frac{3}{2}$ است.بنابر این:

$u=Ln \frac{3}{2}$

از طرفی دیگر از بالا داریم:

$2-x= \frac{2u}{3Ln( \frac{3}{2} )} = \frac{2Ln( \frac{3}{2}}{3Ln( \frac{3}{2} )} = \frac{2}{3} \Rightarrow x=2- \frac{2}{3} \Rightarrow x= \frac{4}{3} $

$ \Rightarrow \frac{100}{x} = \frac{100}{ \frac{4}{3} } =3 \times \frac{100}{4} =3 \times 25=75 \Rightarrow 7+5=12$

$ \Box $

توجه:

اگر در صورت سؤال به منحصر به فرد نبودن جواب اشاره نشده بود می توانستیم از معادلۀ $ue^u= Ln(\frac{3}{2} )$ تابع $W$-لامبرت را بکار ببریم و جواب را بیابیم که بستگی به مقادیر، ممکن است یک یا دو جواب داشته باشیم.

Answer 2

$$ \frac{1}{2-x} = ( \frac{2}{3} )^{-1.5(2-x)} \Longrightarrow ( \frac{1}{2-x}) ^{ \frac{1}{2-x} }= [ ( \frac{2}{3} )^{-1.5( 2-x) } )]^{ \frac{1}{2-x} } \Longrightarrow ( \frac{1}{2-x} )^{ \frac{1}{2-x} } = ( \frac{2}{3} )^{-1.5} = ( \frac{3}{2})^{ \frac{3}{2} } \Longrightarrow \frac{1}{2-x} = \frac{3}{2} \Longrightarrow x= \frac{4}{3} \Longrightarrow \frac{100}{x} =75 \Longrightarrow 7+5=12 $$