توابع چندجمله ای درجه سوم دارای اکسترمم های نسبی درچه حدودی یک به یک نیستند؟

Question

اگر درتابع چندجمله ای درجه سوم $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$نقاط اکسترمم نسبی به طول های $\beta , \alpha$ موجودباشند،درچه بازه ای از دامنه اش یک به یک نیست؟

تلاش من این است که باتشکیل معادلات $$f(x)=f( \alpha ) وf(x)=f( \beta )$$

به معادلات $$(x- \alpha )^2(x- x_{1})=0و(x- \beta)^2(x- x_{2})=0 $$ رسیدم وبه این ترتیب دربازه $[ x_{1} , x_{2} ]$ یک به یک نخواهد بود.

آیا این پاسخ کامل است؟

این سوال ذهنی خودم است.

Answer 1

پاسخ‌تان درست است منهای اینکه نمادهای $x_1$ و $x_2$ را معرفی نکردید و در نتیجه از جایی که این نمادها را وارد متن کردید، متن بی‌معنی می‌شود. کافیست قبل از فرمولی که این دو را در آنها به کار بردید اضافه کنید «$x_1$ تنها ریشهٔ دیگرِ $f(x)=f(\alpha)$ و $x_2$ را تنها ریشهٔ دیگرِ $f(x)=f(\beta)$ در نظر می‌گیریم».

برای خواننده‌هایی که ممکن است علت پاسخی که @good4us به آن رسیدند را ندانند، توجه کنند که نمودارِ یک چندجمله‌ای تک‌متغیرهٔ درجهٔ ۳ دو شکل بیشتر ندارد، لر صاف یا لر دست‌انداز. لر صاف همیشه یک‌به‌یک است و هیچ اکسترمم نسبی‌ای ندارد. لر دست‌انداز برعکس، یک‌به‌یک نیست و دقیقا یک بیشینه نسبی و یک کمینهٔ نسبی دارد. پس کافیست فقط حالت لر دست‌انداز را در نظر بگیرید و در این حالت هم از نمودارش مشخص است که در بازهٔ معرفی شده توسط @good4us یک به یک نیست و اینکه اگر محور $x$ها را به صورت عمودی انتقال دهید تا $y=0$ بیشینه یا کمینهٔ نسبی نمودار را قطع کند آنگاه، معادلهٔ جدید (که همان $f(x)-f(\alpha)=0$ و $f(x)-f(\beta)=0$ -ِ قدیم هستند) یک ریشهٔ مکرر و یک ریشهٔ ساده دارد، که ریشهٔ مکرر اکسترمم نسبی و ریشهٔ ساده نقطهٔ دیگری از نمودار است با عرض یکسان.