ضریب x یک عبارت چند جمله ای از درجه صفر

Question

قسمتی از یک سوال در یک کتاب کار به شرح زیر بود:

تابع $f(x)=(k-3)x+k$یک تابع از درجه صفر است.

در پاسخ نامه این کتاب k-3را مساوی صفر قرار داده بود و از آن به k=3 رسیده بود. آیا این نتیجه گیری از فرض مسعله درست است؟

نظر خودم:در کتاب درسی حسابان دوازدهم آمده است که برای تابع y=0درجه تعریف نمی شود و همچنین درجه یک تابع را به صورت زیر تعریف کرده است: اگر n یک عدد حقیقی نامنفی و $a _{n} , ..., a_{1} , a_{0} $ اعدادی حقیقی باشند که $ a_{n} \neq 0 $ تابع f که به صورت زیر تعریف می شود از درجه n است. $f(x)= a_{n} x^{n}+ a_{n-1} x^{n-1} +...+ a_{0} $

به نظر من وقتی میگوید تابع از درجه صفر است یعنی توان x صفر است و در نتیجه f(x)=2k+3

البته با فرظ من مسعله حل نمی شود و اعتقاد دارم که سوال غلط است ولی اگر نیاز بود بگویید تا اصل سوال را بگزارم.

Answer 1

نخست اینکه معمولا درجه برای یک تابع دلخواه تعریف نمی‌شود، معمولا برای چندجمله‌ای‌ها تعریف می‌شود مگر اینکه قراردادی کرده‌باشند که وقتی مفهوم درجه برای فلان دسته از توابع را به فلان روش تعریف می‌کنیم. درجه برای دستگاهی از چندجمله‌ای‌ها هم تعریف می‌شود که داستان خودش را دارد.

به هر حال، یک چندجمله‌ای تک متغیره (که آشکارا تابع نیز است) با متغیر $x$ از درجهٔ $d$ است هر گاه بزرگترین توانِ $x$ که در نمایش این چندجمله‌ای ظاهر شده‌است $d$ باشد (و توجه کنید که منظورمان در نمایشی‌است که همهٔ $x^i$های با توان یکسان با هم ساده شده‌اند و فقط یک جمله با این توان در نمایش نوشته‌شده‌باشد. اکنون توجه کنید که $x^0=1$ و هیچ عدد ناصفری نمی‌توان در یک ضرب کرد که صفر داشته‌باشیم، برای همین $0$ یک چندجمله‌ای درجهٔ صفر تعریف نمی‌شود (گاهی در برخی جاها تفاوتی ایجاد نمی‌کند برای همین نویسندهٔ کتاب یا مقاله قرارداد می‌کند که چندجمله‌ای ثابت صفر را از درجهٔ صفر حساب می‌کند ولی در حالت کلی این قرارداد درست نیست)، برخی آن را از درجهٔ منفی بینهایت می‌شمارند که دلیل خودش را دارد، به هر حال برای شما تفاوت زیادی ایجاد نمی‌کند و می‌توانید تعریف نشده یا درجهٔ صفر یا درجهٔ منفی‌بینهایت در نظر بگیرید (فعلا مگر اینکه کاربرد یا فرض یا هدف خاصی به متن پرسش اضافه شود).

اما پرسش شما، اگر $k$ را هر عددی غیر از ۳ بگذارید، آنگاه ضریب پشت $x$ ( $x=x^1$) برابر با عددی ناصفر می‌شود پس شما جملهٔ درجهٔ یک را دارید. مثلا قرار بدهید $k=2$ دارید $f(x)=(2-3)x+(2)=-x+2$ نمایشتان برابر است با $-x+2$ که $-x$ درجهٔ یک و $+2$ درجهٔ صفر است، اکنون بیشینه (ماکسیمم) بگیرید از درجه‌ها، دارید که $f(x)$ از درجهٔ یک است. برای هر عددِ غیر از ۳ داریم درجه ۱ است. تنها موردی که می‌ماند این است که برای $k=3$ چه اتفاقی می‌افتد؟ $$f(x)=(3-3)x+(3)=(0\times x)+3=3$$ پس فقط یک جمله دارید یعنی $3$ که برابر است با $3x^0$ یعنی درجهٔ صفر.

اما متوجه نمی‌شوم که چرا شما تابعی که متغیرش $x$ است (در داخل پرانتز جلوی $f$ شما $x$ گذاشته‌اید، پس متغیرتان قرار است $x$ باشد نه $k$) را برداشته‌اید و $x$ را مانند پارامتر رفتار داده‌اید و $k$ را نگه داشته‌اید! اشتباه شما شاید در تشخیص متغیر و پارامترتان در این مسأله است.

Comments

@AmirHosein
ابتدا من یک سوال کوچک درباره عبارت زیر بپرسم که مطمعن شوم منظورتان را فهمیده ام.
اکنون توجه کنید که x0=1 و هیچ عدد ناصفری نمی‌توان در یک ضرب کرد که صفر داشته‌باشیم، برای همین 0 یک چندجمله‌ای درجهٔ صفر تعریف نمی‌شود.
درواقع اگر در تعریف درجه چند جمله ای شرط نمی کردیم که ضریب x (منظورم همان an≠0 در تعریفی ست که خودم بالا نوشته ام)نباید صفر باشد آنوقت میشد y=0 را یک تابع درجه صفر درنظر گرفت.
ولی این توضیحتان را نمیفهمم.متغیر را میدانم یعنی چه ولی پارامت را نه ومنظورتان از اینکه x را مانند یک پارا متر رفتار داده ام یعنی چه؟
اما متوجه نمی‌شوم که چرا شما تابعی که متغیرش x است (در داخل پرانتز جلوی f شما x گذاشته‌اید، پس متغیرتان قرار است x باشد نه k) را برداشته‌اید و x را مانند پارامتر رفتار داده‌اید و k را نگه داشته‌اید! اشتباه شما شاید در تشخیص متغیر و پارامترتان در این مسأله است.

---

@aaa
1- بلی اگر شرط ناصفر بودن ضریب را حذف کنید، اصلا درجه خوش تعریف نمی‌شود. خوش تعریفی یک تعریف یعنی مفهوم به طور یکتا مشخص شود. برای نمونه $x^2$ که انتظار دارید درجه دو باشد را می‌توان به شکل $0\times x^3+1\times x^2$ هم بنویسید یا اصلا هر جمله دلخواهی را با یک ضریب صفر اضافه کنید (چون جمع با صفر تغییری ایجاد نمی‌کند) آنگاه شما توان‌های بالاتر از دوی متغیرتان را هم دارید! و بی‌شمار نمایش متفاوت که بنا به هر کدام مقدار درجه متفاوت نتیجه می‌شود. پس اینگونه درجه بی‌معنی می‌شود. پس شرط ناصفر بودن ضریب مهم است.
2- متغیر یک تابع مانند داده‌های ورودی‌اش است. فرض کنید شما یک سری مواد اولیه را می‌گیرید، فرآیندی را رویشان انجام می‌دهید و سپس موادی را به عنوان خروجی می‌دهید. اما پارامترها شرایطی هستند که خود تابع (خود کارخانه، خود فرآیند) را تغییر می‌دهد. مثلا در پرسش شما به ازای هر مقداری از پارامتر k یک تابع متفاوت دارید. و وقتی که یک تابع را می‌نویسند فقط نام متغیرهایش را در پرانتزش می‌گذارند. پس وقتی پرسش شما می‌پرسد چه زمانی تابع $f(x) $ یک چندجمله ای درجه یک می‌شود باید شرط را روی مقدار پارامترها تعیین کنید.