تجزیه یک چند جمله ای درجه 5

Question

مطلوب است تجزیه چند جمله ای $ x^{5}+a x^{3}+b x^{2}+cx+d $ مشروط بر این که $ d^{2}+c b^{2}=abd $ .

Answer 1

بر اساس شرط داریم: $$c={{abd-d^2}\over {b^2}}$$ سپس جایگذاری می کنیم:

$$x^5+ax^3+bx^2+cx+d \\ =x^5+ax^3+bx^2+\frac{d(ab-d)}{b^2}x+d \\ = x^5+ax^3+bx^2+\left( \frac{ad}{b}-\frac{d^2}{b^2} \right)x+d \\ = x^5-\frac{d^2x}{b^2}+ax\left( x^2+\frac{d}{b} \right)+(bx^2+d) \\ = x\left( x^4-\frac{d^2}{b^2} \right)+ax\left( x^2+\frac{d}{b} \right)+ (bx^2+d) \\ = x\left( x^2+\frac{d}{b} \right) \left( x^2-\frac{d}{b} \right)+ ax\left( x^2+\frac{d}{b} \right)+b\left( x^2+\frac{d}{b} \right) \\ = \left( x^2+\frac{d}{b} \right) \left[ x\left( x^2-\frac{d}{b} \right)+ax+b \right] \\ = \left( x^2+\frac{d}{b} \right) \left[ x^3+\left( a-\frac{d}{b} \right)x+b \right]$$