بت کنید به ازای هر عدد اول p دنباله ی ...,3^3 ,2^2 , 1^1 به پیمانه ی pمتناوب است

Question

ثابت کنید به ازای هر عدد اول p دنباله ی ...,3^3 ,2^2 , 1^1 به پیمانه ی pمتناوب است ،یعنی دنباله ای که از باقیمانده های اعضای این دنباله در تقسیم بر p بدست می اید متناوب است .

Comments

@FFfg تلاش خودتان را نیز اشاره کنید. برای عبارت‌های ریاضی نیز آنها را بین علامت دلار قرار دهید. می‌توانید به راهنمای سایت نگاه بیندازید:
- تذکر آمده در اینجا
https://math.irancircle.com/help#q1
- و راهنما برای فرمول‌های ریاضی نیز
https://math.irancircle.com/56/%D8%B1%D8%A7%D9%87%D9%86%D9%85%D8%A7%DB%8C-%DA%A9%D9%84%DB%8C-%D8%AA%D8%A7%DB%8C%D9%BE-%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C

Answer 1

به ازای هر $i$ ثابت میکنم $i^i\overset{p}{ \equiv }(p!+i)^{p!+i}$. به ازای $i \overset{p}{ \equiv } 0$ که حکم واضح است. حال فرض کنید $i \overset{p}{ \neq} 0$. در این صورت داریم: $$(p!+i)^{p!+i}\overset{p}{ \equiv } i^{p!+i}\overset{p}{ \equiv } i^{(p-1)k+i}\overset{p}{ \equiv }(i^{p-1})^k \times i^i$$ حال بنابر قضیه ی کوچک فرما داریم: $$(p!+i)^{p!+i}\overset{p}{ \equiv }(i^{p-1})^k \times i^i\overset{p}{ \equiv }i^i$$ پس دنباله با دوره تناوب $p!$ متناوب است.