در $n$ بار پرتاب تاس، انتظار میرود چند بار عدد ۲ مشاهده شود؟

Question

در گروه تلگرامی این پرسش را دیدم:

تاس عادلی را (یعنی احتمال آمدن هر عدد آن برابر است) ۳۰۰ بار پرتاب می‌کنیم. انتظار دارید چند بار ۲ ظاهر شود؟

یکی از دوستان گفت چون احتمال 2 برابر یک‌ششم است پس انتظار می‌رود که $300\times\frac{1}{6}=50$ بار ۲ مشاهده شود. ولی من نمی‌توانم اینطوری قبول کنم. من فکر می‌کنم که باید توضیح جواب هر چه که هست از این راه برود که وقتی ۳۰۰ بار تاس پرتاب می شود ۶ به توان۳۰۰ حالت داریم، حالا از این مقدار حداقل عضوی که ۲ دارند چقدر می تواند باشد؟ و در مورد معنای «انتظار»، آیا همان «امید ریاضی» است؟

می‌شود کمک کنید که چگونه باید به این مسأله فکر کرد و جواب را بدست آورد؟

Comments

@mahdiahmadileedari
مرجع کتاب، مقاله یا اثری است که انتشار یافته و قابل دسترسی باشد. اینکه سوال را در گروهی در تلگرام دیده‌اید را می‌توانید در متن سوال اشاره کنید. لطفا پرسش را ویرایش کنید.

در مورد پرسش‌تان، علتی که قبول ندارید را اشاره کنید. اگر اشتباهی وجود دارد آن اشتباه و دلیلش را قید کنید. اگر جایی را متوجه نمی‌شوید بگوئید فلان مطلب را متوجه نمی‌شوم.

---

دلیل قبول نداشتن من این است که وقتی ۳۰۰ بار تاس پرتاب می شود ۶به توان۳۰۰ عضو دارد از این مقدار حداقل عضوی که ۲ دارند چقدر می تواند باشد؟
یا اینکه کلمه انتظار داشتن به معنای امید ریاضی نیست؟

---

@mahdiahmadileedari متن پرسش‌تان را ویرایش کردم، به سایت خوش آمدید ولی برای نوشتن پرسش‌های بعدی‌تان به چند نکته توجه کنید.
- «عنوان پرسش» باید خلاصه باشد ولی باید سوال را از هر سوال مشابه دیگر هم متمایز کند بنابراین عنوان را چیزی بنویسید که خواننده بفهمد درون سوال دقیقا چه چیزی هست. می‌توانید به عنوان جدید که گذاشتم نگاه کنید تا منظورم را بهتر متوجه شوید.
- همیشه فکر و مشکل‌تان را در متن پرسش بنویسید. در این صورت است که پاسخ‌دهنده می‌فهمد شما دقیقا در کجا مشکل دارید تا پاسخ مناسب بگذارد.
- مرجع فقط کتاب، مقاله یا هر آثار انتشار یافتهٔ قابل دسترس دیگری است که باید نام دقیق خود کتاب (یا اثر)، نویسنده و گاها انتشارات یا شماره صفحه یا شماره ویرایش وابسته به مورد، را نیز بنویسید.
- هر گاه برای پرسش‌تان دیدگاهی می‌گذارند «مثلا اینجا گفتم که مرجع تلگرام نیست» روی علامت مداد زیر پست‌تان کلیک کنید و متن را ویرایش کنید، مثلا در این مورد «گروه تلگرامی» را از قسمت مرجع پاک می‌کردید و در خود متن سوال اگر دوست داشتید می‌نوشتید در گروهی در تلگرام دیدم.

پاسخ پرسش‌تان را قرار دادم.

---

سلام
بسیار عالی
واقعا ممنونم. چشم. من تازه واردم. فراموش کرده بودم مطالب را

Answer 1

با توجه به دیدگاهی که گذاشتید (که البته باید در متن پرسش‌تان اضافه می‌کردید) پاسخ شما را اینگونه می‌دهم. نمی‌دانم در چه مقطعی هستید و با متغیرهای تصادفی چقدر آشنا هستید، اگر آشنایی‌ای ندارید می‌توانید در اینترنت یا در کتاب‌های آمار و احتمال مانند کتاب آمار و احتمال مقدماتی نوشتهٔ جواد بهبودیان به تعریف‌های متغیرهای تصادفیِ برنولی، هندسی، دوجمله‌ای، دوجمله‌ای منفی و غیره نگاه بیندازید.

شما بک تاس یا یک آزمایش با ۶ برآورد را ۳۰۰ بار تکرار می‌کنید. تنها به آمدن یکی از این ۶ برآورد (در پرتاب تاس شما، عدد ۲) علاقه دارید. می‌توانید از متغیر تصادفی چندجمله‌ای (تعمیم متغیرتصادفی دوجمله‌ای) استفاده کنید یا مسأله را ساده‌تر کنیم، آمدن ۲ را یک برآمد و نیامدن ۲ را یک برآمد حساب کنید. به جای اینکه بگوئید آمدن هر یک از شش عدد احتمال مساوی $\frac{1}{6}$ دارد، بگوئید احتمال آمدن عدد دو برابر با $\frac{1}{6}$ و احتمال نیامدن آن (که جمع احتمال آمدن پنج عدد دیگر است) برابر با $\frac{5}{6}$ است. پس الآن شما یک آزمایش از نوع برنولی دارید که دو حالت دارد، فرض کنید آمدن ۲ پیروزی و نیامدن ۲ شکست باشد. استفاده از نمادهای آزمایش برنولی دارید $p=\frac{1}{6}$ و $q=\frac{5}{6}$. این آزمایش برنولی را $n=300$ بار تکرار می‌کنید و تعداد پیروزی‌ها برایتان مهم است. این شما را یاد چیزی نمی‌اندازد؟ دقیقا تعریف متغیر تصادفی دوجمله‌ای است. احتمال اینکه $x$ بار پیروزی حاصل شود فقط برابر با ضرب $p$ به تعداد $x$ بار در خودش نیست! نکتهٔ یک این است که احتمال شکست‌ها هم باید حساب شود پس $p^xq^{n-x}$، هنوز کامل نیست، توجه کنید که جای این $x$ پیروزی هم مهم است! همه‌شان اول رخ بدهند یا آخر، یا یک‌در میان یا در هم ور هم و ... ولی چون در هر حالت احتمالش با جمله‌ای که حساب کردیم برابر است پس باید تعداد حالت‌ها را بدست بیاورید و در جمله‌تان ضرب کنید که می‌شود $\binom{n}{x}p^xq^{n-x}$. حالا برویم سراغ «انتظار» که آن را «امید» یا «امید ریاضی» یا «میانگین» ... هم می‌گویند. برای میانگین گرفتن چه کار می‌کردید؟ نمره‌ها را در تعدادشان ضرب می‌کردید، سپس جمع می‌کردید، سپس بر تعداد کل دانش‌آموزها تقسیم می‌کردید، یا می‌توانستید از میانبر بروید، نمره‌ها را در فراوانی‌نسبی‌شان ضرب و بعد جمع می‌کردید (دیگر به تقسیم آخر نیازی نیست). فراوانی نسبی چیست؟ همان احتمال اینجای شما است پس اگر این ۳۰۰ بار پرتاب و شمردن چند بار ۲ می‌آید را بی‌نهایت (عددمثبت بزرگ در اینجا) بار تکرار کنید و سپس هر عدد ممکن برای تعداد آمدن ۲ ها که از ۰ تا ۳۰۰ هستند را در احتمال متناظرشان (وقتی به جای بینهایت از عدد مثبت بزرگ استفاده می‌کنید به جای احتمال از فراوانی نسبی استفاده می‌کنید که در واقع احتمال دقیق حد این فراوانی نسبی است زمانی که عدد مثبت بزرگتان بزرگ و بزرگ‌تر می‌شود) ضرب کرده و در آخر جمع می‌کنید. در این حالت پرسش شما برابر می‌شود با؛ $$\sum_{x=0}^n\binom{n}{x}xp^xq^{n-x}=np$$ برای اینکه ببینید چرا حاصل این جمع برابر با $np$ شد، اتحاد دوجمله‌ای برای توان دلخواه را به یاد آورید؛ $$(y_1+y_2)^n=\sum_{x=0}^n\binom{n}{x}y_1^xy_2^{n-x}$$ از این رابطه نسبت به $y_1$ مشتق بگیرید. $$n(1)(y_1+y_2)^{n-1}=\sum_{x=1}^{n}\binom{n}{x}xy_1^{x-1}y_2^{n-x}$$ جملهٔ صفرم جمع سمت راست صفر می‌شود چون هیچ $y_1$ای ندارد. اکنون دو سمت رابطهٔ بالا را در $y_1$ ضرب کنید. $$ny_1(y_1+y_2)^{n-1}=\sum_{x=1}^{n}x\binom{n}{x}y_1^{x}y_2^{n-x}$$ اکنون به جای متغیرهای $x_1$ و $x_2$ به ترتیب قرار دهید $p$ و $q$ و توجه کنید که $q=1-p$ بود. خواهید داشت؛ $$np=np(1)^{n-1}=np(p+q)^{n-1}=\sum_{x=1}^nx\binom{n}{x}p^xq^{n-x}$$ تنها چیزی که نیاز دارید جملهٔ صفرم هست ولی توجه کنید که جملهٔ صفرم یعنی زمانی‌که $x=0$ برابر است با $(0)\binom{n}{0}p^0q^{n-0}$ که برابر با صفر است، پس با اضافه کردنش به سمت راست تغییری ایجاد نمی‌کنید و هنوز تساوی برقرار می‌ماند، پس ثابت کردیم که؛ $$np=\sum_{x=0}^nx\binom{n}{x}p^xq^{n-x}$$ اکنون با جایگذاری مقادیر در پرسش شما داریم $np=300\times\frac{1}{6}=50$.

Comments

بسیار جامع و‌دقیق