اگر هر $3$ پرتاب خط بیاید مجموع امتیازات برابر $-3$ می شود . اگر دو پرتاب خط بیاید و یک پرتاب شیر بیاید مجموع امتیازات برابر $-1$ می شود . اگر یک پرتاب خط بیاید و دو پرتاب شیر بیاید مجموع امتیازات برابر $1$ می شود . اگر هر $3$ پرتاب شیر بیاید مجموع امتیازات برابر $3$ می شود . پس مقادیر $X$ عبارتند از $-3,-1,1,3$ . بنابراین تکیه گاه مجموعه :
$$R_{X}= \{-3,-1,1,3\} $$
است . حال احتمال رخداد هر یک از این مقادیر را بدست می آوریم . فرض کنید $Y$ متغیر تصادفی تعداد خط ها در $3$ پرتاب است پس $Y$ دارای توزیع دوجمله ای $B(3, \frac{1}{2} )$ است :
$$P(X=-3) = P(Y=3)= \binom{3}{3} \big( \frac{1}{2} \big) ^{3} = \frac{1}{8} $$
$$P(X=-1) = P(Y=2) = \binom{3}{2} \big( \frac{1}{2} \big) ^{2} \big( \frac{1}{2} \big) ^{1} = \frac{3}{8} $$
$$P(X=1) = P(Y=1) = \binom{3}{1} \big( \frac{1}{2} \big) ^{1} \big( \frac{1}{2} \big) ^{2} = \frac{3}{8} $$
$$P(X=3) = P(Y=0) = \binom{3}{0} \big( \frac{1}{2} \big) ^{0} \big( \frac{1}{2} \big) ^{3} = \frac{1}{8} $$
پس تابع احتمال $X$ به صورت زیر است :
$$f_{X}(x)=\begin{cases} \frac{1}{8} & x = -3 \\ \frac{3}{8} & x =-1 \\ \frac{3}{8} & x=1 \\ \frac{1}{8} & x=3 \end{cases} $$
حال می توان احتمال های مذکور را بدست آورد :
$$P(-1 \leq x \leq 2)=P(x=-1) + P(x=1) = \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} $$
$$P(-5 \leq x \leq 1)=P(x=-3) + P(x=-1) + P(x=1) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$$
