آیا حاصل $\int_0^\infty e^{-\frac{x^2}{2a^2}}dx$ را می توان با کمک رابطهٔ $\int_0^\infty e^{-ax^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}$ بدست آورد؟

Question

آیا می‌توانم جواب انتگرال $\int_0^\infty e^{-\frac{x^2}{2a^2}}{\rm d}x$ را بر اساس انتگرال $\int_0^\infty e^{-ax^2}{\rm d}x$ که دارای جواب $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}$ است، به شکل $\frac{1}{2}\sqrt{2\pi a^2}$ بنویسم؟

Answer 1

بلی، برای اینکه شبیه بودن نمادها گیج‌تان نکند، می‌توانید نکته‌ای که اشاره کردید را به جای استفاده از $a$ با نماد دیگری بنویسید. برای نمونه $\int_0^\infty e^{-cx^2}{\rm d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{c}}$ پس اکنون کافیست به جای $c$ قرار دهید $\frac{1}{2a^2}$ آنگاه دارید $\int_0^\infty e^{-\frac{x^2}{2a^2}}{\rm d}x$ برابر است با

$$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{(\frac{1}{2a^2})}}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2\pi}$$

البته توجه کنید که نکته‌ای که گفتید برای $c$های مثبت برقرار است.