مجموع کسرهای از یک تا 12 که صورت انها یک و مخرج انها از 2 فاکتوریل تا 12 فاکتوریل باشد؟

Question

$ \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...\frac{1}{10!}+\frac{1}{11!}+\frac{1}{12!}=? $

مجموع عبارتهای بالا را چطور بدست می اورند؟ تشکر

Comments

راه خاصی فکر نکنم داشته باشه. باید مخرج مشترک بگیرید و همه ی مخرج ها رو به ۱۲! تبدیل کنید که بعدش باید برای صورت جمع $1!+2!+...11!$ رو حساب کنیم که فک نکنم فرمول خاص یا روشی داشته باشه.

---

@Mahdimoro دیدگاهتان درست است، ولی اگر به موضوع علاقه دارید می‌توانید به پیوند زیر برای یک سری فرمول (نه ساده) برای جمع فاکتوریل‌ها نگاهی بیندازید.
https://math.stackexchange.com/questions/227551/sum-k-1-2-3-cdots-n-is-there-a-generic-formula-for-this

Answer 1

البته این روش در سطح دبیرستان نیست، (سوال : در بخش ریاضی_دبیرستان ) با استفاده از بسط مک لورن تابع $ e^{x} $ میتوان به این سوال پاسخ درخوری داد :) توجه می کنیم که t بین0 و 1 است.

---

\begin{equation} e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}+\frac{e^{t}}{n+1 !} x^{n+1} \end{equation} \begin{equation} \text { if } x=1 \text { then } e-2=\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\ldots+\frac{1}{12 !}+\frac{e^{t}}{13 !} \end{equation}