محاسبه طول ضلع پنج ضلعی درون مثلث

Question

مثلث متساوی الساقینی به اضلاع aوaوb داده شده است.می خواهیم دو مثلث متقارن نسبت به ارتفاع ومتصل به قاعده چنان از آن جدا کنیم که پنج ضلعی متقارن باقیمانده،متساوی الاضلاع باشد.طول ضلع این پنج ضلعی بر حسب aوb چیست؟

Answer 1

بنام خدا.اولا مقدار b باید کوچکتر از 2a باشد (طبق نامساوی مثلث) اگر فرمول کسینوسها رادر مثلث MNC ودر مثلث BMN بنویسیم داریم $\big( \frac{b-x}{2} \big) ^{2} = x^{2} + \big( a-x^{2} \big) -2x(a-x)cos \Theta$

$BN^{2} = x^{2} + x^{2} -2 x^{2} cos(180- \theta )$ اگر بجای مربع BN مقدارش را در شکل قرار دهیم

$BN^{2} = a^{2} - \big( \frac{b}{2} \big) ^{2} + \big( \frac{x}{2} \big) ^{2}$ وبجای $cos(180- \theta )=-cos \theta$ قرار دهیم سپس مقدار کسینوس را در هر دومعادله بدست آورده و دو معادله را مساوی قرار داده وساده کنیم به یک معادله درجه 2 می رسیم که میتوان بر حسب دلتا حل نمود $(a-2b) x^{2} +2( b^{2} -4 a^{2} )x+4 a^{3} -a b^{2} =0$

$x= \frac{4 a^{2} - b^{2} \pm \sqrt{ \big( b^{2} -4 a^{2} \big) ^{2} - \big(a-2b\big) \big(4 a^{3} -a b^{2} \big) } }{a-2b}$

این معادله 2 ریشه دارد که ریشه مثبت جواب مسئله میباشد.