نوشتن زیر مجموعه هایی ک حداقل در دو عضو مشترک هستند

Question

چند زیر مجموعه ازمجموعه { a,b,c,d,e,f} می توان نوشت که حداقل در دو عضو مشترک هستند؟

تلاش خودم .برای این کار مجموعه های یک عضوی را کنار گذاشتم

Answer 1

بنام خدا.دراین مسئله بدون اینکه اشکالی پیش ٱید میتوانیم دو عضوی که در تمام زیر مجموعه مشترک باشند مثلا a و b در نظر بگیریم .در این صورت زیر مجموعه تهی وزیر مجموعه های یک عضوی حذف میشوند وبرای زیر مجموعه های دو عضوی فقط $ \lbrace aوb\rbrace $ را انتخاب میکنیم برای زیر مجموعه های 3عضوی که شامل اعضای aوb باشند انتخاب 1عضو از 4عضو باقیمانده در مجموعه $ A=\lbrace aوbوcوdوeوf\rbrace $ که تعداد این زیر مجموعه ها از فر مول ترکیب یا بدون فرمول میتوان بدست ٱورد. $ \binom{4}{1} =4 $ واین 4 زیر مجموعه ها عبارتند از $ \lbrace abc\rbrace \lbrace abd\rbrace \lbrace abe\rbrace \lbrace abf\rbrace $ برای زیر مجموعه های 4عضوی شامل aوb انتخاب 2عضو از4عضو باقیمانده مجموعه A خواهد بود یعنی $ \binom{4}{2} =6 $ وبه همین ترتیب تعداد کل زیر مجموعه های شامل دو عضو aوb عبارتند از $ \binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} =1+4+6+4+1=16 $
یعنی تمام زیر مجموعه هایی که فقط دو عضو مشترک دارند 16 تا می باشد. اگربخواهیم تعداد زیر مجموعه هایی را پیدا کنیم که در 3 عضو مشترک باشند طبق روش بالا داریم $ \binom{3}{0} + \binom{3}{1} + \binom{3}{2} + \binom{3}{3} =8 $ اگربخواهیم تعداد زیر مجموعه هایی را پیدا کنیم که در 4 عضو مشترک باشند $ \binom{2}{0} + \binom{2}{1} + \binom{2}{2} =4 $ اگربخواهیم تعداد زیر مجموعه هایی را پیدا کنیم که در 5 عضو مشترک باشند $ \binom{1}{0} + \binom{1}{1} =2 $ حالا تمام حالات را باهم جمع میکنیم چون در صورت مسئله آمده است که لااقل در دو عضو مشترک باشند یعنی در 2 یا 3 یا 4 یا 5 عضو مشترک باشند.بنابراین جواب به صورت30= 2+4+8+ 16 همه جواب را میتوان چنین نوشت $ 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} =30 $

Comments

ممنون.بسیار عالی و گویا توضیح دادید.سپاسگذارم