به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
200 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian (651 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

در امتحان کلاس نهمی این پرسش آمده بود که حاصل عبارت زیر را پیدا کنید. می‌خواستم روش ابتدایی‌ای برای حل کردنش بیابم. $$ \frac{1}{2}+ \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16}+... $$ تلاش من مخرج مشترک $2^{n} $گرفتم به جواب نرسیدم.

توسط AmirHosein (10,687 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
@rezasalmanian پیرامون مرجع‌دهی به این پست نگاه کنید.
https://math.irancircle.com/11973/%DA%86%DA%AF%D9%88%D9%86%D9%87-%D8%AF%D8%B1-%D9%85%D8%AD%D9%81%D9%84-%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C-%DB%8C%DA%A9-%D8%B3%D9%88%D8%A7%D9%84-%D8%AE%D9%88%D8%A8-%D8%A8%D9%BE%D8%B1%D8%B3%DB%8C%D9%85%D8%9F?show=16525#a16525
عنوان پرسش هم نامناسب بود. بینهایت پرسش با عنوان «حاصل عبارت زیر را بیابید» می‌توان مطرح کرد، با نگاه به این عنوان نمی‌توان فهمید چه چیزی در پرسش است، غیر از اینکه پرسش را به طور یکتا از بقیه بارز نمی‌کند. راه‌حل این است که عبارت را در متن پرسش بیاورید، به ویژه در مورد این پرسش که عبارت خیلی طولانی نیست و قابل آوردن در عنوان هست.
من برایتان عنوان و مرجع را ویرایش کردم، می‌توانید مقایسه کنید.

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (10,687 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

پایهٔ نهم احتمالا همان یکُم دبیرستان در نظام ۵-۳-۳-۱ ما می‌شود. ولی این پرسش پائین‌تر از سال سوم دبیرستان نباید مطرح شود مگر برای نیت‌های فراتر از فعالیت کلاسی، یعنی اگر برای نمرهٔ درس ریاضی کارنامهٔ سال یکم دبیرستان یک دانش‌آمور دخیل و معیار شود، نااستاندارد است. در ریاضی سال دوم دبیرستان رشته‌های ریاضی و تجربی دانش‌آموزها با دنباله‌های حسابی و هندسی آشنا می‌شوند. در حسابان سال سوم ریاضی نیز با مقهوم حد آشنا خواهند شد. اینکه دقیقا این پرسش برای چه مقطع و درسی استاندارد است را نمی‌توانم با اطمینان بگویم ولی مطمئنا باید دنباله و حد هر دو قبل از این پرسش آموزش داده شده باشند. احتمالا دبیر مربوطه نکات تستی و فرمول‌های خارج از سرفصل‌های کتاب را هم در تدریسش به دانش‌آموزها آموزش داده‌است (به خاطر کنکور یا مسابقات یا آزمون‌ها و غیره) یا اینکه سرفصل‌های کتاب اکنون تغییراتی داشته. به هر حال فرمولی که این سوال می‌خواهد، فرمول زیر است:

برای $x$های حقیقیکه $|x|< 1$ داریم: $$\sum_{n=1}^\infty nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}$$ اکنون با جایگذاریِ $x=\frac{1}{2}$ داریم: $$\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\cdots=2$$ اما چگونه این فرمول را ربط داده‌اند به بحث دنباله‌ها؟ پاسخ اینجاست که جمع متناهی جملهٔ نخستِ یک دنبالهٔ هندسی با قدر نسبت $q$ و جملهٔ نخستین $a_0$، مثلا $n$ جملهٔ نخست، برابر بود با $$a_0\frac{1-q^n}{1-q}$$ اکنون اگر $|q|< 1$ برای جمع نامتناهی جملهٔ این دنباله یعنی جمع جملهٔ نخست، دوم، سوم، ... و بدون ایستادن جمع را ادامه دهیم، فرمول خاصی خواهیم داشت که در زیر می‌آوریم. این یک مفهوم حدی است یعنی حد جمعِ $n$ جملهٔ نخست و سپس میل دادن $n$ به بینهایت. از همین جا معلوم است که آزمون‌گیرنده از سرفصل‌های کتاب درسی (دست‌کم کتاب درسی زمان ما) فراتر رفته‌است! به هر حال با این فرض‌ها داریم: $$\begin{array}{lll} \sum_{n=1}^\infty a_0q^{n-1} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}(\sum_{i=1}^n a_0x^{i-1}) \\\\ & = & \lim_{n\rightarrow\infty} a_0\frac{1-q^n}{1-q} \\\\ & = & a_0\frac{1-(\lim_{n\rightarrow\infty}q^n)}{1-q} \\\\ & = & a_0\frac{1}{1-q} \end{array}$$ اینک فرض کنید $a_0=1$ و به حای $q$ از $x$ استفاده کنید. دارید $$1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots=\frac{1}{1-x}$$ اکنون به یک مفهوم بیشتر هم نیازمند هستید، مشتق! روش‌های دیگری هم هست ولی مربوط به ریاضیات گستته و ترکیبیات می‌شوند که قبل از پیش‌دانشگاهی یا ریاضیات گسستهٔ دانشگاهی مسلما سرفصل نیستند! یک روش دیگر هم استفاده از بسط مک‌لورن (حالت خاص بسط تیلور) است که آن هم پیش از حساب‌دیفرانسیل پیش‌دانشگاهی یا ریاضی عمومی دانشگاهی سرفصل نیست. به هر حال، از دو طرف رابطهٔ آخر نسبت به $x$ مشتق بگیرید. $$0+1+2x+3x^2+4x^3+\cdots=\frac{1}{(1-x)^2}$$ اکنون هر دو طرف را در $x$ ضرب کنید $$x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots=\frac{x}{(1-x)^2}$$ و توجه کنید که شرط $|x|< 1$ را از ابتدای کار گذاشته‌بودیم.

در نهایت حتی اگر روش ابتدایی‌تری برای اثبات این فرمول پیدا کنید، خود مفهوم جمع نامتناهی جمله از یک دنباله به هیچ وجه سرفصل ریاضی سال یکم دبیرستان نیست حتی سال دوم دبیرستان، چون به مفهوم حد وابسته است.

توسط rezasalmanian (651 امتیاز)
منظورم از روش ابندایی راهبرد رسم شکل است .یعنی مربعی به عنوان واحد انتخاب کنیم ذو  کسر اول را در آن نشان دهیم،باقی کسرها را در واحد دیگر مشخص کنیم.
توسط AmirHosein (10,687 امتیاز)
+1
@rezasalmanian ترسیمِ تنها، برای حدس زدن ایدهٔ خوبی هست ولی چون در ترسیم تنها تعداد متناهی جمله را رسم می‌کنید، از نظر ریاضی و منطقی تنها یک تعداد کران پائین برای حاصل نهایی این جمعِ نامتناهی ارائه می‌دهد. بنابراین تساوی را ثابت نمی‌کند. اگر بگوئید که از ۲ واحد بیشتر نمی‌شود حتما دلیلی آورده‌اید که خب در تصویری که اشاره کردید نیست و با نوشتن آن را ذکر کردید و جتی اینکه چرا قبل از رسیدن به ۲ واحدِ کامل این جمع نمی‌ایستد مثلا عدد خیلی نزدیکی به ۲، پس باز هم نیاز به نوشتن یک دلیل برای این قسمت هم دارید که تصویر نیست. پس در کل ترسیم تنها می‌تواند به حدس زدن حاصل کمک کند و از نظر استدلال تنها کران پائینی برای عدد نهایی می‌دهد و شما نیاز دارید که دلیل بیاورید که چرا از ۲ واحد فراتر نخواهد رفت و پیش از ۲ واحدِ کامل نخواهد ایستاد. به راحتی می‌توانید یک سری نامتنهای دیگر مثال بزنید که حاصل آن مثلا ۱.۹۹۹۹۹ شود نه ۲. در هر دو حالت وقتی شما ترسیم استفاده می‌کنید مثلا تا ۱۰ جملهٔ نخست را رسم کرده‌اید. سری جدید را می‌توان طوری ساخت که ۱۰ جملهٔ نخستش برابر ۱۰ جملهٔ نخست سری اینجا باشند ولی پاسخ نهایی‌اش به جای ۲ عددی باشد که گفتیم. پس در هر دو مورد با ترسیم به عدد $\frac{509}{256}$ یعنی $1.98828125$ رسیده‌اید. اگر قرار باشد این ترسیم ثابت کرده‌باشد که سری کنونی ۲ خواهد شد، پس اثباتی برای ۲ شدن سری جدید هم خواهد بود، در حالیکه حاصل این سری ۲ نیست. همینطور می‌توانید سری نامتناهی‌ای بسازید که چند جملهٔ اولش برابر با سریِ اینجا باشد ولی حاصلش ۲.۰۰۰۰۱ شود.
توسط rezasalmanian (651 امتیاز)
–1
راه حل دبیر طراح را به زودی ارسال می کنم
+1 امتیاز
توسط Reza7900 (11 امتیاز)

فرض کنید $A1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + ...$ و $A2=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+ \frac{1}{16} + ...$ و $A3=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+ \frac{1}{32} + ...$ و ... به وضوح حاصل جواب برابر است با $B=A1+A2+A3+...$ حال هر کدام از A ها را حساب می کنیم : دو طرف A1 را در ۲ ضرب میکنیم داریم $2 A1=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...$ پس تقریبا می توانیم بگوییم A1= 1 و‌به طور مشابه $A2= \frac{1}{2} $ و $A3= \frac{1}{4} $و ...

درنتیجه تقریبا $B=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +...$ دوباره با ضرب دو طرف در ۲ به این میرسیم که B تقریبا برابر است با ۲ . راه حل صحیح در محاسبه هر کدام از سری های هندسی استفاده از حد است که @Amirhosein گفت.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...