پایهٔ نهم احتمالا همان یکُم دبیرستان در نظام ۵-۳-۳-۱ ما میشود. ولی این پرسش پائینتر از سال سوم دبیرستان نباید مطرح شود مگر برای نیتهای فراتر از فعالیت کلاسی، یعنی اگر برای نمرهٔ درس ریاضی کارنامهٔ سال یکم دبیرستان یک دانشآمور دخیل و معیار شود، نااستاندارد است. در ریاضی سال دوم دبیرستان رشتههای ریاضی و تجربی دانشآموزها با دنبالههای حسابی و هندسی آشنا میشوند. در حسابان سال سوم ریاضی نیز با مقهوم حد آشنا خواهند شد. اینکه دقیقا این پرسش برای چه مقطع و درسی استاندارد است را نمیتوانم با اطمینان بگویم ولی مطمئنا باید دنباله و حد هر دو قبل از این پرسش آموزش داده شده باشند. احتمالا دبیر مربوطه نکات تستی و فرمولهای خارج از سرفصلهای کتاب را هم در تدریسش به دانشآموزها آموزش دادهاست (به خاطر کنکور یا مسابقات یا آزمونها و غیره) یا اینکه سرفصلهای کتاب اکنون تغییراتی داشته. به هر حال فرمولی که این سوال میخواهد، فرمول زیر است:
برای $x$های حقیقیکه $|x|<1$ داریم:
$$\sum_{n=1}^\infty nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}$$
اکنون با جایگذاریِ $x=\frac{1}{2}$ داریم:
$$\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\cdots=2$$
اما چگونه این فرمول را ربط دادهاند به بحث دنبالهها؟ پاسخ اینجاست که جمع متناهی جملهٔ نخستِ یک دنبالهٔ هندسی با قدر نسبت $q$ و جملهٔ نخستین $a_0$، مثلا $n$ جملهٔ نخست، برابر بود با
$$a_0\frac{1-q^n}{1-q}$$
اکنون اگر $|q|<1$ برای جمع نامتناهی جملهٔ این دنباله یعنی جمع جملهٔ نخست، دوم، سوم، ... و بدون ایستادن جمع را ادامه دهیم، فرمول خاصی خواهیم داشت که در زیر میآوریم. این یک مفهوم حدی است یعنی حد جمعِ $n$ جملهٔ نخست و سپس میل دادن $n$ به بینهایت. از همین جا معلوم است که آزمونگیرنده از سرفصلهای کتاب درسی (دستکم کتاب درسی زمان ما) فراتر رفتهاست! به هر حال با این فرضها داریم:
$$\begin{array}{lll}
\sum_{n=1}^\infty a_0q^{n-1} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}(\sum_{i=1}^n a_0x^{i-1}) \\\\
& = & \lim_{n\rightarrow\infty} a_0\frac{1-q^n}{1-q} \\\\
& = & a_0\frac{1-(\lim_{n\rightarrow\infty}q^n)}{1-q} \\\\
& = & a_0\frac{1}{1-q}
\end{array}$$
اینک فرض کنید $a_0=1$ و به حای $q$ از $x$ استفاده کنید. دارید
$$1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots=\frac{1}{1-x}$$
اکنون به یک مفهوم بیشتر هم نیازمند هستید، مشتق! روشهای دیگری هم هست ولی مربوط به ریاضیات گستته و ترکیبیات میشوند که قبل از پیشدانشگاهی یا ریاضیات گسستهٔ دانشگاهی مسلما سرفصل نیستند! یک روش دیگر هم استفاده از بسط مکلورن (حالت خاص بسط تیلور) است که آن هم پیش از حسابدیفرانسیل پیشدانشگاهی یا ریاضی عمومی دانشگاهی سرفصل نیست. به هر حال، از دو طرف رابطهٔ آخر نسبت به $x$ مشتق بگیرید.
$$0+1+2x+3x^2+4x^3+\cdots=\frac{1}{(1-x)^2}$$
اکنون هر دو طرف را در $x$ ضرب کنید
$$x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots=\frac{x}{(1-x)^2}$$
و توجه کنید که شرط $|x|<1$ را از ابتدای کار گذاشتهبودیم.
در نهایت حتی اگر روش ابتداییتری برای اثبات این فرمول پیدا کنید، خود مفهوم جمع نامتناهی جمله از یک دنباله به هیچ وجه سرفصل ریاضی سال یکم دبیرستان نیست حتی سال دوم دبیرستان، چون به مفهوم حد وابسته است.
