فرمول کلی برای حل معادلات نمایی.

Question

ایا هر معادله ی نمایی قابل حل شدن است؟ ایا فرمول کلی برای حل معادلات نمایی وجود دارد؟ برای مثال ایا میتوان معادله $ 2^{x+1}=3^x-11 $ را به روش جبری حل نمود؟

Comments

@amir_h بستگی دارد که چه نوع حلی بخواهید. اگر پاسخ‌های معادله را تا چند رقم اعشار بخواهید روش‌های عددی زیادی هستند که برای معادله‌های کلی می‌توان استفاده کرد. ولی اگر پاسخ را دقیق بخواهید، آنگاه یک معادلهٔ دلخواه همیشه فرمول یا الگوریتم صریح برای حل دقیق ندارد، برای نمونه معادلات انتگرالی زیادی هستند که حل دقیق‌شان سخت یا در حال حاضر ناممکن است.

---

طرف اول وطرف دوم معادله را در یکدستگاه مختصات مدرج رسم می کنیم محل تلاقی دو نمودار X=3بدست می آید

---

به نظرم پاسخ  mdardah کاملادرسته اما اینکه ممکنه برای سوالی مشابه جواب دیگری نیزوجود داشته باشه بایددقت کرد و شاید نتوان به سادگی به آن پاسخ داد

---

سلام.همانطور که mdardah اشاره کردند٬حل بسیاری از معادلات به روش هندسی قابل حل است اما باید توجه کرد که به روش هندسی  نمیتوانیم مقدار دقیق ریشه های معادله را بدست اوریم.منظور من نیز از طرح سوالی که کردم این بود که ایا میتوان معادلات نمایی را به روش جبری حل نمود؟ با این حال پاسخ های شما نیز مفید بود .با تشکر

---

@amir_h خب باید متن پرسش را دقیق بنویسید، روی دکمهٔ ویرایش زیر پست پرسش‌تان کلیک کنید و اینکه چه نوع حلی را می‌خواهید را بیفزائید.

---

عنوان پرسش خود را اصلاح کردم

---

@amir_h @AmirHosein برخی مسائل معادلات نمایی بیشتر شبیه معادلات دیوفانتینی نمایی هستند. در مرجع پایین معادله مشابهی در حالت کلی تراومده. دوستان و اساتید عنایت بفرمایند.
کتاب [Cambridge Tracts in Mathematics 87[ Exponential Diophantine Equations اثر T.N.Shorey, R.Tijdeman نشر دانشگاه کمبریج انگلستان سال ۲۰۰۸ صفحه ۴۱ معادله ای شبیه این مسئله رو تحلیل کرده. معادله به این صورته: $ a^{m}-b^{n}=k$
امیدوارم این مرجع راهگشا باشه.

Answer 1

نه، هر معادله نمایی قابل حل شدن نیست. در بسیاری از موارد، نمی‌توان یک فرمول کلی برای حل معادلات نمایی به دست آورد و باید با استفاده از روش‌های عددی به حل آن‌ها بپردازیم. به علاوه، در برخی موارد، معادلات نمایی دارای چندین ریشه مختلف هستند که ممکن است تنها یکی از آن‌ها جواب معادله باشد.

Answer 2

با درود بهمراهان گرامی. با فرض اینکه $x \in \mathbb{Z}$ است و با یک معادله دیوفانتی روبرو هستیم، اگر معادله نمونه در سؤال را بصورت زیر بازنویسی کنیم $$(1)\quad 3^x-2^{x+1}=11$$ آنگاه با تعریف محدوده عدم تحقق $x$، براحتی $x$ را میتوان بدست آورد. اگر $x>3$ باشد، با رشد آن تفاضل عبارت سمت چپ، بمراتب بزرگتر از $11$ خواهد بود. اگر $-1< x< 3$ باشد، عبارت سمت چپ کوچکتر از $11$ خواهد بود و اگر $x< 0$ باشد، با کاهش آن، عبارت سمت چپ از $-0. \overline{6} $ به $0$ میل میکند. بنابراین هیچ گزینه‌ای بغیر از $x=3$ باقی نمی ماند. با آزمون آن، مشاهده میشود که در معادله $1$ صدق میکند. پیروز و تندرست باشید.