با اینکه مدت زمان زیادی از پرسیده شدن این سوال میگذرد، تصمیم گرفتم جواب آن را در اینجا قرار دهم زیرا اولا سوال بسیار مهمی است و ثانیا بعید میدانم چنین سوالی در محتوای فارسی اینترنت موجود باشد.
برای اثبات از این حقیقت استفاده میکنیم که:
$$ e= \sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!} .$$
حال فرض کنیم $e$ گویا باشد، یعنی: $e=\frac{a}{b}$ که در آن $a$ و $b$ اعدادی طبیعی هستند. حال توجه کنید که اگر تعریف کنیم:
$$x=b!(\frac{a}{b}-\sum^{b}_{n=0}\frac{1}{n!})=(b-1)!a-\sum^{b}_{n=0}\frac{b!}{n!},$$
که در آن هر دوی $(b-1)!a$ و $\sum^{b}_{n=0}\frac{b!}{n!}$ اعدادی طبیعی هستند (چرا؟) و در نتیجه $x$ نیز باید عددی صحیح باشد (چرا؟) اما (جزییات روابط به راحتی قابل بررسی است):
$$0<x=b!(\frac{a}{b}-\sum^{b}_{n=0}\frac{1}{n!})=\sum^{\infty}_{n=b+1}\frac{b!}{n!}\\ <\sum^{\infty}_{n=b+1}\frac{1}{(b+1)^{n-b}}=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{(b+1)^k}=\frac{1}{b}\leq 1$$
و این به وضوح تناقض است زیرا به این رسیده بودیم که $x$ عددی صحیح است، حال اینکه نشان دادیم این عدد صحیح بین صفر و یک قرار دارد! لذا فرض خلف باطل است و در نتیجه $e$ گویا نیست.
منبع: ویکی پدیا
