ابتدا با یک نمونهٔ کوچکتر از پرسش‌تان، پرسش را بررسی می‌کنیم. فرض کنید خسرو ۲ بار سکه را پرتاب می‌کند و فرهاد ۱ بار. و رقابت سر شیر آمدن است. می‌خواهیم بدانیم احتمال اینکه خسرو تعداد شیر بیشتری نسبت به فرهاد بیاورد چقدر است. تعداد کل حالت‌های برآمدِ پرتاب سکه دو بار برای خسرو ۴ است و تعداد برآمدهای ممکن برای پرتاب سکه یک بار برای فرهاد ۲ است. چون پرتاب‌های خسور و فرهاد به هم ناوابسته‌اند پس $4\times 2=8$ حالت برای کل این رقابت وجود دارد. اکنون باید دید چند تا از این ۸ نتیجهٔ ممکن به پیروزی خسرو می‌انجامد. خسرو می‌تواند ۰ یا ۱ یا ۲ بار شیر بیاورد و فرهاد ۰ یا ۱ بار. پیروزیِ خسرو یعنی یکی از حالت‌های زیر: اگر خسرو ۰ بار بیارود هیچ حالتی پیروزی به او نمی‌دهد. اگر خسرو ۱ بار شیر بیاورد فقط در صورتی که فرهاد ۰ بار شیر بیاورد پیروز می‌شود. اگر خسرو ۲ بار شیر بیاورد آنگاه در هر صورت یعنی ۰ یا ۱ بار شیر آوردن فرهاد، خسرو برنده‌است. پس باید تعداد حالت‌هایی که زوج مرتب تعداد شیرهای خسرو و فرهاد به یکی از حالت‌های $(1,0)$، $(2,0)$، $(2,1)$ را بشماریم. دقیقا یک بار شیر آوردن در ۲ بار پرتاب سکه به $\binom{2}{1}$ دفعه رخ می‌دهد و صفر بار شیر آوردن در ۱ بار پرتاب کردن سکه به $\binom{1}{0}$ حالت. پس زوج مرتب نخست $2\times 1$ حالت دارد. به همین ترتیب خواهید داشت احتمال پیروزی خسرو برابر می‌شود با $\frac{(2\times 1)+(1\times 1)+(1\times 1)}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. شاید بگوئید یک مسابقهٔ جوانمردانه است ولی توجه کنید که با محاسبه‌ای مشابه می‌توانید ببینید که احتمال پیروزیِ فرهاد برابر با $\frac{1}{8}$ است و احتمال برابر شدن خسرو و فرهاد برابر با $\frac{3}{8}$ پس توجه کنید که تنها با «نیم» شدن احتمال پیروزیِ یک طرف از مسابقه به معنای منصفانه بودن مسابقه نیست. به هر حال اکنون برویم به سراغ پرسش شما، با تجربه‌ای که کسب کردیم واضح است که احتمالی که به دنبالش هستید برابر است با
$$\frac{1}{2^{14+13}}\sum_{i=0}^{14}\sum_{j=0}^{\min(i-1,13)}\binom{14}{i}\binom{13}{j}=\frac{67108864}{2^{27}}=\frac{1}{2}$$
که جمع را با نرم‌افزار Mathematica انجام داده‌ایم با دستور زیر.
Sum[Sum[Binomial[14,i]*Binomial[13,j],{j,0,Min[i-1,13]}],{i,0,14}]
توجه کنید که اگر تعداد پرتاب‌های خسرو را هر عدد دلخواهی بردارید و تعداد پرتاب‌های فرهاد را دقیقا یک واحد کمتر از آن بردارید آنگاه همیشه احتمال پیروزیِ خسرو $\frac{1}{2}$ خواهد بود. در عبارت فرمول بالا چون $i-1$ همواره کوچکتر یا مساوی تعداد پرتاب‌های فرهاد است پس نوشتن $\min$ ناضروری می‌شود و آنگاه فرمولی که دارید دقیقا در حال شمردن نصف حالت‌هاست. تنها تفاوت این خواهد بود که افزایش تعداد پرتاب‌ها احتمال پیروزی فرهاد را افزایش می‌دهد ولی زیر $\frac{1}{2}$ نگهش می‌دارد و با میل دادن آن به بینهایت به صورت مجانبی به نیم نزدیک می‌شود. برای مثال در حالتی که خسرو دو بار پرتاب می‌کرد، احتمال پیروزی فرهاد $0.125$ بود در حالیکه اکنون که خسرو ۱۴ بار پرتاب می‌کند، احتمال پیروزی فرهاد $0.350554$ است.
