بزرگ ترین عددی را که هر عددی به شکل $a^{2}-1$ برای $a$هایی که $(a,12)=1$ را می شمارد بیابید؟

Question

بزرگترین عددی که $ a^{2}-1 $ را برای هر $a$ای که $(a,12)=1$ بشمارد چه عددی است؟

تلاش خودم: اول از همه اینکه a مضرب 2 و3 نیست.

$a=2k+1 \Rightarrow a^{2}=8k+1 \Rightarrow a^{2} -1=8k $ و اینکه
$a=3k \pm 1 \Rightarrow a^{2} -1=3k$

در نتیجه $ a^{2}-1=24q $

مشکل من این است که نمی دانم عددم درست است یا نه ازکجا باید بفهمم که آیا عدد بزرگتری وجود دارد یانه . من قبلا این راه حل را در حل مسعله مشابه دیگری دیده بودم ولی خیلی خوب آن را درک نکردم .چگونه باید از جوابم مطمعن شوم؟ اگه راه حل دیگری برای این مسعله وجود دارد لطفا بنویسید

Comments

@aaa باید یک سری فرض بیشتر در پرسش‌تان باشد. برای نمونه خیلی بدیهی $a^2-1$ خودش را می‌شمارد و عددی بزرگتر از آن نمی‌تواند آن را بشمارد پس حتی بدون استفاده از فرضِ نسبت به هم اول بودن عددهای $a$ و ۱۲، همواره پاسخ برابر می‌شود با $a^2-1$. آیا به دنبال بزرگترین عامل اولِ $a^2-1$ هستید؟ آیا فرض دیگری هم بر روی $a$ دارید؟

---

@AmirHosein
منظورتان را نمی فهمم
پاسخ من عدد 24 است یعنی هر عددی که به جای a بگزاریم که نسبت به 12 اول باشد$ a^{2}-1 $مضرب 24 است . a میتواند 13 یا 11 یا 25 یا هر عدد دیگری بباشد که نسبت به 12 اول است .من دنبا ل عددی  میگردم که به ازای هر مقداری از a که در شرط صدق کند شمارنده  $ a^{2}-1 $باشد و بین تمام اعدادی که چنین ویژگی دارد بزرگترین باشد .برای مثال عدد 8 هم چنین ویژگی دارد ولی از 24 کوچک تر است.
چگونه بدون شرط اول بودن 12 و a نسبت به هم میتوانید جوابی برای مسعله تعیین کنید؟

---

@aaa ویرایشی که کردم را نگاه کنید. اگر بگوئید:
«اگر $(a,12)=1$، آنگاه بزرگترین عددی که $a^2-1$ را بشمارد را بیابید» یعنی $a$ را اول یک عدد ثابت صادق در شرط ابتدای جمله می‌گیریم و سپس دنبال مجهول با فلان ویژگی می‌گردیم و قید کردن «همواره» در قسمت دوم جمله تغییری در معنا ایجاد نمی‌کند. اما با توجه به دیدگاهی که گذاشتید مشخص است که شما جمله‌بندی جدید منظورتان است یعنی چیزی را می‌خواهید که همهٔ اعضای مجموعهٔ $\lbrace a^2-1\mid (a,12)=1\rbrace$ را بشمارد. مسأله را هم در صورت نداشتن حرف «أ» در نوشت‌ابزارتان با الف معمولی بنویسید بهتر است تا با عین.

---

سلام اینکه اثبات کردید عدد مضرب ۲۴ است درست است.
میتونید بایک مثال ساده نشان دهیم که عددی بزرگتر از ۲۴ وجود ندارد.
مثلا برای عدد ۵ عبارت برابر ۲۴ است. پس نمیتواند شمارنده بزرگتری داشته باشد.

---

@aaa
لطفا همین راه حل خودتون رو با جزئیات بیشتر در قسمت پاسخ بنویسید.