Question

با پنج مهره متمایز به چند طریق میتوان گردنبند درست کرد؟ من متوجه نمیشم چرا جواب آخر که میشه پنج فاکتوریل تقسیم بر 2 من این تقسیم بر 2 را متوجه نمیشم چرا ممنون میشم ساده وبا دلیل دقیق بهم جواب بدید از خیلیلا پرسیدم جواب درستی بهم ندادن ممنون میشم کامل جواب بدهید.با تشکر

Answer 1

حالت های قرار گیری $5$ شی مجزا کنار هم برابر $5!$ است در این حالت بخصوص بنظرم منظور این است که اگر حالتی را در نظر بگیریم و گردنبند را بچرخانیم(یا از پشت نگاه کنیم) حالت دیگر بدست می آید یعنی باید این دو حالت را هم ارز بگیریم و یکی بدانیم اما دوبار محاسبه می شود لذا بر دو تقسیم میکنیم

برای درک بهتر شکل را نگاه کنید

Comments

توو جوابی که دادم دقیقا منظورم از ساعتگرد و پادساعتگرد همین بود.
ممنون از پاسخ شما
شاید مقایسه ای که با میز گرد انجام دادم اشتباه باشه,درسته؟

---

بله دور یک میز نشستن فرق میکنه مثلا همین شکل بالا رو دور در نظر بگیرید  و هر بار یک واحد (در چهت ساعتگرد و یا حتی پادساعتگرد بچرخانید) هر بار ظاهرا حالت های متفاوتی بدست می آید اما چون یک میز است در واقع یکی هستند مثلا در تمام حالتها مهره ی قرمز بین مهره نارنجی و سبز قرار میگیرد.

---

کاملا حق با شماست.

Answer 2

تعداد جایگشت هایی که $n$ شی متمایز دور یک دایره(میزگرد) برابر ست با: $\frac{n!}{n}=(n-1)!$ .

دلیل این مطلب هم خیلی سخت نیست مثلا فرض کنید چهار نفر $a,b,c,d$ داشته باشیم در اینصورت این چهار نفر دارای $4!$ جایگشت هستند ولی هر چهار حالت دور میزگرد یکسان هستند مثلا حالت های $abcd,bcda,cdab,dabc$ یکسان هستند:

اما برای گردنبند باید یه خرده بیشتر حواسمون جمع باشه! چون در گردنبند علاوه بر اینکه چرخش دایره حالت جدید ایجاد نمی کند(مثل دایره بالا) ، اگر گردنبند را از جلو و یا عقب هم نگاه کنیم حالت جدید نیست. مثلا در مورد $abcd$ حالت های زیر در دایره مختلف هستند ولی در گردنبند یکی هستند:

بنابراین اگر بخواهیم با $n$ شی یک گردنبند بسازیم باید $(n-1)!$ را بر $2$ تقسیم کنیم یعنی تعداد حالات درست کردن گردنبند برابر است با $\frac{(n-1)!}{2}$.

---

ویرایش بعد از نظر wahedmohammadi:

جواب من با فرض این است که گردنبند را دایره فرض کنیم.

اما اگر منظور از گردنبند نیم دایره باشد در اینصورت چون تعداد جایگشت های $n$ شی متمایز برابر $n!$ بوده و با در نظر گرفتن حالت های تکراری با نگاه کردن از عقب و جلو به جایگشت ها باید بر $2$ تقسیم کنیم یعنی جواب برابر $\frac{n!}{2}$ خواهد شد.

Comments

شما این را در نظر نگرفتید که گردنبند با یک میز گرد فرق دارد چون میز گرد حکم یک دایره را دارد در حالی که گردنبند مثل یک نیم دایره می‌باشد. و چینش مهره‌ها در گردنبند مثل چینش آن‌ها در یک ردیف است پس برای n مهره به !n  متمایز ممکن است و تقسیم بر 2 هم طبق همان چرخاندن قابل توجیه است. با این استدلال می‌شود گفت که تعداد حالات !n تقسیم بر 2 می‌شود در حالی‌که شما نوشتید !(n-1) تقسیم بر 2؛ و به نظرم این درست نیست.

---

@wahedmohammadi
درست میگید شما. من همونطور که واضحه گردنبند رو فرض کردم دایره ای باشه! که در اینصورت جواب برابر $\frac{(n-1)!}{2}$.
ولی اگر به صورت نیم دایره در نظر بگیریم با استدلالی مشابه با در نظر گرفتن حالت های تکراری( با نگاه کردن از عقب و جلو) مطمئنا برابر $\frac{n!}{2}$ خواهد شد.
ممنون.

Answer 3

درست کردن گردنبند با $5$ مهره متمایز مانند حالتی است که $5$ نفر بخواهند دور یک میز گرد بنشینند.(مهره های متمایز,متناظر با انسان ها هستند.بدیهی است که هیچ دو انسانی یکسان نیستند)

در حالت عادی اگر $5$ نفر بخواهند کنار هم بنشینند به $5$ فاکتوریل روش این حالت اتفاق می افتد.

اما چرا وقتی این $5$ نفر دور یک میز گرد بنشینند تعداد حالات, $5$ فاکتوریل تقسیم بر $2$ میشود.؟

دلیل این مطلب را من با یک مثال ساده بیان می کنم:

برای کوتاه شدن جواب, مساله را با $3$نفر حل می کنیم.فرض کنیم $3$ نفر به نام های رها, مهسا و مریم میخواهند کنار هم دور یک میز گرد بنشینند.فقط حالتی را بررسی می کنیم که رها در یک صندلی مشخص نشسته و محل نشستن دو نفر دیگر تغییر کند:

$1$)رها-مهسا-مریم

$2$)رها-مریم-مهسا

اگر یک ردیف در نظر بگیریم,این دو حالت متمایزند اما اگر این دو حالت را دور یک میز گرد تصور کنید با کمی دقت خواهید دید که در واقع این دو یکسانند,فقط یکبار ساعتگرد و بار دیگر پاد ساعتگرد در نظر گرفته شده اند.(اگر این دو حالت را روی یک دایره بنویسید و یکبار ساعتگرد و بار دیگر پاد ساعتگرد به آن نگاه کنید,متوجه خواهید شد.)

پس تمام حالت ها تقسیم بر $2$ خواهند شد.

Comments

شاید استدلالم غلط باشه ولی میشه توضیح بدین که شما این $4$ فاکتوریل حالت رو چطور محاسبه کردین؟

---

یک نوع استدلال برای اینکه قرارگیری $5$ نفر دور یک میز $4!$ میشه اینه که جایگاه اولین نفری  که میشینه مهم نیست (تمام جایگاه ها یک ارزش رو دارند یک دور است و اول یا آخر نداریم) ولی برای سمت راست نفر اول $4$ حالت داریم برای جایگاه بعدی $3$ و...

---

از توجهتون ممنونم جناب محمدی.

---

خواهش می کنم...کارتون خوب بود فقط شما این را در نظر نگرفتید که گردنبند با یک میز گرد فرق دارد چون میز گرد حکم یک دایره را دارد در حالی که گردنبند مثل یک نیم دایره می‌باشد.

---

بله اشتباه من دقیقا همین بود.حق با شماست.

Answer 4

با سلام، زیرا اگر برعکس هم بچینیم همین گردنبند درست میشه، پس بر 2 تقسیم میکنیم زیرا این دو حالت شبیه هم هستند.