به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,922 بازدید
در دبیرستان توسط
نمایش از نو توسط fardina

با پنج مهره متمایز به چند طریق میتوان گردنبند درست کرد؟ من متوجه نمیشم چرا جواب آخر که میشه پنج فاکتوریل تقسیم بر 2 من این تقسیم بر 2 را متوجه نمیشم چرا ممنون میشم ساده وبا دلیل دقیق بهم جواب بدید از خیلیلا پرسیدم جواب درستی بهم ندادن ممنون میشم کامل جواب بدهید.با تشکر

4 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط erfanm
انتخاب شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

حالت های قرار گیری $5$ شی مجزا کنار هم برابر $5!$ است در این حالت بخصوص بنظرم منظور این است که اگر حالتی را در نظر بگیریم و گردنبند را بچرخانیم(یا از پشت نگاه کنیم) حالت دیگر بدست می آید یعنی باید این دو حالت را هم ارز بگیریم و یکی بدانیم اما دوبار محاسبه می شود لذا بر دو تقسیم میکنیم

برای درک بهتر شکل را نگاه کنید

enter image description here

توسط رها
+1
توو جوابی که دادم دقیقا منظورم از ساعتگرد و پادساعتگرد همین بود.
ممنون از پاسخ شما
شاید مقایسه ای که با میز گرد انجام دادم اشتباه باشه,درسته؟
توسط erfanm
بله دور یک میز نشستن فرق میکنه مثلا همین شکل بالا رو دور در نظر بگیرید  و هر بار یک واحد (در چهت ساعتگرد و یا حتی پادساعتگرد بچرخانید) هر بار ظاهرا حالت های متفاوتی بدست می آید اما چون یک میز است در واقع یکی هستند مثلا در تمام حالتها مهره ی قرمز بین مهره نارنجی و سبز قرار میگیرد.
توسط رها
+1
کاملا حق با شماست.
+3 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

تعداد جایگشت هایی که $n$ شی متمایز دور یک دایره(میزگرد) برابر ست با: $\frac{n!}{n}=(n-1)!$ .

دلیل این مطلب هم خیلی سخت نیست مثلا فرض کنید چهار نفر $a,b,c,d$ داشته باشیم در اینصورت این چهار نفر دارای $4!$ جایگشت هستند ولی هر چهار حالت دور میزگرد یکسان هستند مثلا حالت های $abcd,bcda,cdab,dabc$ یکسان هستند:

permutation

اما برای گردنبند باید یه خرده بیشتر حواسمون جمع باشه! چون در گردنبند علاوه بر اینکه چرخش دایره حالت جدید ایجاد نمی کند(مثل دایره بالا) ، اگر گردنبند را از جلو و یا عقب هم نگاه کنیم حالت جدید نیست. مثلا در مورد $abcd$ حالت های زیر در دایره مختلف هستند ولی در گردنبند یکی هستند:

enter image description here

بنابراین اگر بخواهیم با $n$ شی یک گردنبند بسازیم باید $(n-1)!$ را بر $2$ تقسیم کنیم یعنی تعداد حالات درست کردن گردنبند برابر است با $\frac{(n-1)!}{2}$.


ویرایش بعد از نظر wahedmohammadi:

جواب من با فرض این است که گردنبند را دایره فرض کنیم.

اما اگر منظور از گردنبند نیم دایره باشد در اینصورت چون تعداد جایگشت های $n$ شی متمایز برابر $n!$ بوده و با در نظر گرفتن حالت های تکراری با نگاه کردن از عقب و جلو به جایگشت ها باید بر $2$ تقسیم کنیم یعنی جواب برابر $\frac{n!}{2}$ خواهد شد.

توسط wahedmohammadi
+2
شما این را در نظر نگرفتید که گردنبند با یک میز گرد فرق دارد چون میز گرد حکم یک دایره را دارد در حالی که گردنبند مثل یک نیم دایره می‌باشد. و چینش مهره‌ها در گردنبند مثل چینش آن‌ها در یک ردیف است پس برای n مهره به !n  متمایز ممکن است و تقسیم بر 2 هم طبق همان چرخاندن قابل توجیه است. با این استدلال می‌شود گفت که تعداد حالات !n تقسیم بر 2 می‌شود در حالی‌که شما نوشتید !(n-1) تقسیم بر 2؛ و به نظرم این درست نیست.
توسط fardina
+1
@wahedmohammadi
درست میگید شما. من همونطور که واضحه گردنبند رو فرض کردم دایره ای باشه! که در اینصورت جواب برابر $\frac{(n-1)!}{2}$.
ولی اگر به صورت نیم دایره در نظر بگیریم با استدلالی مشابه با در نظر گرفتن حالت های تکراری( با نگاه کردن از عقب و جلو) مطمئنا برابر $\frac{n!}{2}$ خواهد شد.
ممنون.
0 امتیاز
توسط رها
نمایش از نو توسط wahedmohammadi

درست کردن گردنبند با $5$ مهره متمایز مانند حالتی است که $5$ نفر بخواهند دور یک میز گرد بنشینند.(مهره های متمایز,متناظر با انسان ها هستند.بدیهی است که هیچ دو انسانی یکسان نیستند)

در حالت عادی اگر $5$ نفر بخواهند کنار هم بنشینند به $5$ فاکتوریل روش این حالت اتفاق می افتد.

اما چرا وقتی این $5$ نفر دور یک میز گرد بنشینند تعداد حالات, $5$ فاکتوریل تقسیم بر $2$ میشود.؟

دلیل این مطلب را من با یک مثال ساده بیان می کنم:

برای کوتاه شدن جواب, مساله را با $3$نفر حل می کنیم.فرض کنیم $3$ نفر به نام های رها, مهسا و مریم میخواهند کنار هم دور یک میز گرد بنشینند.فقط حالتی را بررسی می کنیم که رها در یک صندلی مشخص نشسته و محل نشستن دو نفر دیگر تغییر کند:

$1$)رها-مهسا-مریم

$2$)رها-مریم-مهسا

اگر یک ردیف در نظر بگیریم,این دو حالت متمایزند اما اگر این دو حالت را دور یک میز گرد تصور کنید با کمی دقت خواهید دید که در واقع این دو یکسانند,فقط یکبار ساعتگرد و بار دیگر پاد ساعتگرد در نظر گرفته شده اند.(اگر این دو حالت را روی یک دایره بنویسید و یکبار ساعتگرد و بار دیگر پاد ساعتگرد به آن نگاه کنید,متوجه خواهید شد.)

پس تمام حالت ها تقسیم بر $2$ خواهند شد.

توسط رها
ویرایش شده توسط رها
+1
شاید استدلالم غلط باشه ولی میشه توضیح بدین که شما این $4$ فاکتوریل حالت رو چطور محاسبه کردین؟
توسط erfanm
یک نوع استدلال برای اینکه قرارگیری $5$ نفر دور یک میز $4!$ میشه اینه که جایگاه اولین نفری  که میشینه مهم نیست (تمام جایگاه ها یک ارزش رو دارند یک دور است و اول یا آخر نداریم) ولی برای سمت راست نفر اول $4$ حالت داریم برای جایگاه بعدی $3$ و...
توسط رها
+1
از توجهتون ممنونم جناب محمدی.
توسط wahedmohammadi
+1
خواهش می کنم...کارتون خوب بود فقط شما این را در نظر نگرفتید که گردنبند با یک میز گرد فرق دارد چون میز گرد حکم یک دایره را دارد در حالی که گردنبند مثل یک نیم دایره می‌باشد.
توسط رها
+1
بله اشتباه من دقیقا همین بود.حق با شماست.
0 امتیاز
توسط

با سلام، زیرا اگر برعکس هم بچینیم همین گردنبند درست میشه، پس بر 2 تقسیم میکنیم زیرا این دو حالت شبیه هم هستند.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...