به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
856 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

آیا طبق تعریف کتاب درسی جدید دیفرانسیل نقاط ابتدا وانتهای بازه بسته نقاط اکسترمم نسبی هستند یا خیر چرا؟

مرجع: دیفرانسیل پیش دانشگاهی فصل مشتق
دارای دیدگاه توسط
+1
@رها
سوال ایشون از کتاب سیلورمن نیست. همونطور که گفتن "طبق تعریف کتاب درسی".
بله کتاب سیلورمن نقاط انتهایی رو جزو نقاط اکسترمم نسبی نگرفته. ولی مثلا کتاب جورج توماس جلد اول فصل کاربرد مشتق بخش نظریه ماکسیمم مینیمم مثال یک رو ببینید گفته در نقاط $-2,3$ تابع $y=x^{\frac 23}$ دارای ماکسیمم نسبی است!
بنابراین رویکرد کتاب های مختلف با هم متفاوت است.
پس باید به سوال ایشون برگردیم که گفتن بنابر تعریف کتاب درسی. و به نظر من بنابر تعریف کتاب درسی نقاط انتهایی جزو نقاط اکسترمم نسبی هستند!
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
@fardina
بله الان توماس رو نگاه کردم,حق با شماست.
به هر حال شما دبیر هستین و اطلاعاتتون در مورد کتب دبیرستانی خیلی بیشتر از من هست و بنده جسارت نمیکنم.
من پاسخم رو به عنوان یک نظر مینویسم  که برای امیر غلط انداز نباشه.
ولی راستش با این تعاریف متفاوت من خودم دیگه نمیدونم که در سطح دانشگاهی کدوم تعریف درسته!؟!
دارای دیدگاه توسط
+1
@wahedmohammadi
پس طبق کتاب سیلورمن پاسخم اشتباه نبود ولی مثل اینکه تعاریف دبیرستانی متفاوته.
ولی من فکر میکنم برای نقاط تنها نمیتونه برقرار باشه!
دارای دیدگاه توسط
+2
با این توضیحات به این نتیجه رسیدیم که تعریف‌ها در کتاب‌های مختلف با هم متفاوت هستند.
ولی باز من میگم حتی طبق تعریف سیلورمن، اگر بازه $[a,b]$ هم به عنوان دامنه و هم به عنوان فضای مورد بحث در نظر بگیریم آن‌گاه نقاط مرزی هم نقاط درونی دامنه هستند در غیر اینصورت اکسترمم نسبی نیستند. پس با این اوصاف طبق چیزهایی که شماها گفتید هم می‌توانند اکسترمم نسبی باشند و هم می‌توانند نباشند.
از آقای امیر به خاطر طرح این سوال متشکرم سوال خیلی خوبی بود
از 'fardina ' و 'رها' هم متشکرم به خاطر بحث‌های ظریفی که ارائه دادند.
دارای دیدگاه توسط
+1
@wahedmohammadi
خواهش میکنم
بله بحث بسیار جالبی بود ولی همونطور که به fardina هم گفتم متاسفانه با این تعاریف متفاوتی که موجوده نتونستیم به یک جواب قطعی(در سطح دانشگاهی) برسیم.
در مثال  ص 266 سیلورمن هم که عرض کردم,صراحتا بیان شده که نقاط ابتدا و انتها بازه بسته نمیتونن اکسترمم نسبی باشند.ولی به قول دوستمون fardina شاید در سطح دبیرستان,تعاریف متفاوت باشه!به هرحال بسیار جالب بود.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

بله می تواند اکسترمم نسبی شوند زیرا بنابر تعریف کتاب:

enter image description here

$f(c)$ ماکسیمم موضعی است هرگاه یک همسایگی از $c$ مانند $B(c,r)=|x-c|< r$ موجود باشد به طوریکه به ازای هر $x\in B(c,r)\cap D_f$ داشته باشیم $f(x)\leq f(c)$. که در آن $D_f$ دامنه تابع $f$ است.

پس اگر تابعی روی $[a,b]$ تعریف شده باشد و همسایگی ای از $b$ مثل $B(b,r)$ موجود باشد که $\forall x\in B(b,r)\cap D_f=(b-r,b+r)\cap[a,b]=(b-r,b]$ داشته باشیم $f(x)\leq f(b)$ آنگاه $b$ نقطه ماکسیمم موضعی است.

و به همین ترتیب برای نقطه ی $a $استدلال می شود.

استدلال برای مینیم موضعی بودن هم مشابه بالا است.

حتی با این تعریف نقاط تنها هم می توانند اکسترمم نسبی شوند زیرا اگر مثلا تابع $f$ روی $[0,1]\cup \{2\}$ تعریف شده باشد آنگاه $\{2\}$ هم ماکسیمم نسبی است هم مینیمم نسبی زیرا اگر $r< 1$ باشد به ازای هر $x\in D_f\cap B(2,r)=\{2\}$ داریم $f(x)=f(2)$.

البته این فقط نظر منه و چیزیه که از تعریف استنباط میکنم.

دارای دیدگاه توسط
+1
@رها
میدونم چی میگید. در کتاب قدیمی دیفرانسیل پیش دانشگاهی همین تعریف شما استنباط میشد. ولی اون چیزی که از تعریف حال حاضر کتاب میبینم اینطور استنباط میکنم. شاید هم اشتباه کنم.
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
اولا silverman و این دست کتاب ها دیگر قدیمی شده اند.

ثانیا اگر تابع در یک نقطه همسایگی یکطرفه و حد یکطرفه داشته باشد می گوییم تابع در آن نقطه حد دارد.   یعنی رادیکال X در X=0 حد دارد.http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%E2%88%9Ax+at+x%3D0

سوما این تعریف کمی کژ تابی و ابهام دارد در استفاده از عبارت ( در دامنه f) . ولی هدف از این عبارت آن بوده که هر نقطه اکسترمم نسبی لزوما نقطه درونی دامنه نیست و می تواند تنها باشد ولی  باز اکسترمم باشد. باید بعد از این عبارت گفته میشد که x مخالف c باشد تا ابهام رفع شود.

و اگر ما این ابهام را که تفسیر کاملا غلط از آن میشود ندیده بگیریم آنگاه: نقطه تنها لزوما اکسترمم نیست. یعنی می تواند نه مینیمم نسبی باشد نه ماکسیمم نسبی
و همچنین میتواند هردو باشد یا یکی از آن ها.
دارای دیدگاه توسط
+1
@OXIDE
در مورد اولا من نمیدونم منظورتون از قدیمی چیه؟ کتابی مثل calculus on manifolds از spivak  که بیشتر از 40-50 سال پیش نوشته شده در حال حاضر هم اولین منبع درسی محسوب میشه. کتاب ریاضی عمومیه calculus by spivak در سال 1967 نوشته شده و الان هم حتما بهتون پیشنهاد میشه که بخونیدش. A Course of Pure Mathematics, by G. H. Hardy ابتدا در سال 1908 نوشته شد و دهمین ویرایشش در سال 1950 هنوز هم به عنوان منبع خوبی میدونن. کتاب آپوستل Apostol در سال 1966 نوشته شده و هنوز به عنوان یکی از بهترین مرجعها میبیننش. کتاب سیلورمن که همش مال 25 سال پیشه!و اگر مثالی آورده شده چون این کتاب جلو دستم بوده و خواستم مستند حرف بزنم.
ثانیا رو نفهمیدم چه ربطی به موضوع بحث داشت؟اینکه واضحه.
در مورد سوما هم شما نظر خودتونه و من اولین جمله م این بوده "بله می تواند...". من هم اون چیزی که استنباط کردم نوشتم.
خلاصه این سوال گویا چیزیه که خیلی از معلمها سرش اختلاف نظر دارن. و من فقط از روی تعریف کتاب درسی که پیدا کردم نظرمو گفتم. وگرنه اگر این سوال رو به طورکلی و از منظر کتب دانشگاهی ازم بپرسن نظرم متفاوته.
دارای دیدگاه توسط
+1
در ضمن اون لینکی که دادید از $\lim_{x\to 0}\sqrt x$ رو روی اعداد مختلط بررسی کرده.
هر چند میدونم منظورتون چیه میگید که $\lim_{x\to 0}=\lim_{x\to 0^+}=0$
دارای دیدگاه توسط
+1
ما الان بحثمون روی کتاب درسی دیفرانسیل و حسابان هست و تو اون صراحتا ذکر شده که اگر تابع f فقط در یک همسایگی راست نقطه a تعریف شده باشد منظور از حد f در a همان حد راست f در a است. این جواب دیدگاهی که قبلا گفته بودین.
در مورد این تعریف هم من خودم خیلی ور رفتم و آخر سر به این نتیجه رسیدم.
میتونید به مثال های کتاب هم نگاه کنید.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...