به نام خدا
دنباله ای که در صورت سوال به آن اشاره شده، دنباله غیر خطی از درجه دوم، آن هم با جمله عمومی بفرم $t_{n} =a n^{2} +bn+c$ می باشد. برای پیدا کردن رابطه ای جهت بدست آوردن مجموع $n$جمله اول این دنباله، ابتدا چند جمله اول از این دنباله را می نویسیم تا ببینیم می توان الگویی را بدست آورد:
$$ t_{1}=a+b+c$$
$$t_{2}=4a+2b+c$$
$$t_{3}=9a+3b+c$$
$$t_{4}=16a+4b+c$$
$$ \vdots $$
$$t_{n}=an^2 +bn+c$$
و مجموع $n$ جمله اول دنباله :
$$S_{n}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+...+t_{n}$$
با کمی دقت(آشنایی با برخی از تساوی ها، که در پایان پاسخ به آنها اشاره شده)، می بینیم که برای محاسبه ی مجموع جملات دنباله، اگر قسمت هایی که عدد ثابت $a$ را دارند را با هم درنظر بگیریم و همچنین قسمت هایی را که عدد ثابت $b$ دارند را با هم درنظر بگیریم و در آخر قسمت هایی را که عدد ثابت $c$ دارند را نیز باهم درنظر بگیریم می توان به الگویی رسید، پس :
$$ S_{n}=(a+4a+9a+16a+...+an^2) +(b+2b+3b+4b+...+bn)+(c+c+c+...+c)$$
با فاکتورگیری از $a$ در پرانتز اول و فاکتور گیری از $b$ در پرانتز دوم و مشخص هست که در پرانتز سوم $n$ تا $c$ داریم، پس :
$$S_{n}=a(1^2 +2^2 + 3^2 +4^2 +...+n^2)+b(1+2+3+4+...+n)+n.c$$
حالا برای مجموع هایی که در پرانتز اول و دوم بوجود آمده می توان از عبارت های مساوی با آنها استفاده کرد، که به این تساوی ها در پایان اشاره می شود. پس مجموع $n$ جمله اول دنباله ای با جمله عمومی $t_{n} =a n^{2} +bn+c $ برابر است با :
$$\ S_{n}=a(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})+b(\frac{n(n+1)}{2})+n.c$$
تساوی های استفاده شده در بالا:
$1^2 +2^2 +3^2 +...+n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$$و$$
$$1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
