به نام خدا
دنباله ای که در صورت سوال به آن اشاره شده، دنباله غیر خطی از درجه دوم، آن هم با جمله عمومی بفرم t_{n} =a n^{2} +bn+c می باشد. برای پیدا کردن رابطه ای جهت بدست آوردن مجموع nجمله اول این دنباله، ابتدا چند جمله اول از این دنباله را می نویسیم تا ببینیم می توان الگویی را بدست آورد:
t_{1}=a+b+c
t_{2}=4a+2b+c
t_{3}=9a+3b+c
t_{4}=16a+4b+c
\vdots
t_{n}=an^2 +bn+c
و مجموع n جمله اول دنباله :
S_{n}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+...+t_{n}
با کمی دقت(آشنایی با برخی از تساوی ها، که در پایان پاسخ به آنها اشاره شده)، می بینیم که برای محاسبه ی مجموع جملات دنباله، اگر قسمت هایی که عدد ثابت a را دارند را با هم درنظر بگیریم و همچنین قسمت هایی را که عدد ثابت b دارند را با هم درنظر بگیریم و در آخر قسمت هایی را که عدد ثابت c دارند را نیز باهم درنظر بگیریم می توان به الگویی رسید، پس :
S_{n}=(a+4a+9a+16a+...+an^2) +(b+2b+3b+4b+...+bn)+(c+c+c+...+c)
با فاکتورگیری از a در پرانتز اول و فاکتور گیری از b در پرانتز دوم و مشخص هست که در پرانتز سوم n تا c داریم، پس :
S_{n}=a(1^2 +2^2 + 3^2 +4^2 +...+n^2)+b(1+2+3+4+...+n)+n.c
حالا برای مجموع هایی که در پرانتز اول و دوم بوجود آمده می توان از عبارت های مساوی با آنها استفاده کرد، که به این تساوی ها در پایان اشاره می شود. پس مجموع n جمله اول دنباله ای با جمله عمومی t_{n} =a n^{2} +bn+c برابر است با :
\ S_{n}=a(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})+b(\frac{n(n+1)}{2})+n.c
تساوی های استفاده شده در بالا:
1^2 +2^2 +3^2 +...+n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
و
1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2}
