به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
76 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط

سلام،دوستان و اساتید کسی روش یا فرمولی رو می‌شناسه که باهاش بشه برای دنباله های غیر خطی درجه دو رابطه بازگشتی نوشت؟

توسط mdgi (966 امتیاز)
+1
چطوریه که پروفایل شما را نمیشه دید!؟
توسط AmirHosein (10,298 امتیاز)
+1
@mdgi احتمالا همان کاربر با نام کاربری @Amin.sm هستند، در دیدگاه‌های زیر پرسش‌های پیشین‌شان نام کاربری قبلی‌شان ذکر شده‌است. مانند اینجا https://math.irancircle.com/17931 یا باید خودشان تغییری در شناسه‌شان ایجاد کرده‌باشند یا مشکل فنی‌ای باشد @admin
توسط admin (1,525 امتیاز)
+1
@AmirHosein
ایشان به من پیام دادند خواستند حساب کاربری شان را حذف کنم.
بعد از حذف کاربر نام کاربری به صورت بی نام در سایت نمایش داده می شود.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+3 امتیاز
توسط AmirHosein (10,298 امتیاز)
انتخاب شده توسط kazomano
 
بهترین پاسخ

دنبالهٔ درجهٔ دویتان را چگونه تعریف می‌کنید؟

$$x_n=an^2+bn+c$$

که $a,b,c$ سه عدد ثابت هستند. ساده‌ترین ایده برای ساختن یک رابطهٔ بازگشتی محاسبهٔ اختلاف دو جملهٔ پشت‌سرهم (متوالی) است.

$$\begin{align} & x_{n+1}=a(n+1)^2+b(n+1)+c=an^2+(2a+b)n+(a+b+c)\\ & x_{n+1}-x_n=2an+a+b \end{align}$$

پس خیلی ساده یک رابطهٔ بازگشتی برای دنباله‌تان به شکل زیر است.

$$x_{n+1}=x_n+2an+a+b,\;x_1=a+b+c$$

رابطه‌ای که پیدا کردیم یک رابطهٔ بازگشتی است و به عنوان پاسخ برای پرسش شما پذیرفته‌است. ولی اگر بخواهیم شرایط را محدودتر کنیم یعنی فقط دنبال رابطهٔ بازگشتی خطیِ همگن باشیم آنگاه می‌توانیم ایدهٔ استفاده از تفاضلات را در این مورد بیشتر پیش ببریم. یک دلیل علاقه به رابطه‌های بازگشتیِ خطیِ همگن داشتن رده‌بندیِ کامل برای رفتارشان و همینطور جملهٔ سرراست‌شان هست که می‌توانید در این زمینه در پاسخ دیگری که پیش‌تر فرستاده‌ام بخوانید (اینجا کلیک کنید).

اگر تیزبین باشید، متوجه شده‌اید که با استفاده از ایدهٔ تفاضلات با یک‌بار استفاده از تفاضل، توانِ بیشینهٔ چندجمله‌ایِ درجهٔ دویتان پریده‌است. بیایید تعریف کنید

$$\Delta x_n=x_{n+1}-x_n$$

پس نشان دادیم که

$$\Delta x_n=(2a)n+(a+b)$$

خودِ دنبالهٔ جدیدِ $\Delta x_n$ یک دنبالهٔ چندجمله‌ای است، پس اگر یک تفاضل دیگر بر آن سوار کنیم درجه‌اش کاهش خواهد یافت.

$$\begin{align} & \Delta^2x_n=\Delta(\Delta x_n)=\Delta x_{n+1}-\Delta x_n\\ & \left\lbrace\begin{array}{l} \Delta x_n=(2a)n+(a+b)\\ \Delta x_{n+1}=(2a)(n+1)+(a+b)=(2a)n+(3a+b) \end{array}\right.\Longrightarrow \Delta^2x_n=2a \end{align}$$

کافیست یک بار دیگر تفاضل بزنیم تا کلا به صفر برسیم.

$$\begin{align} & \Delta^3x_n=\Delta(\Delta^2x_n)=\Delta^2x_{n+1}-\Delta^2x_n\\ & \left\lbrace\begin{array}{l} \Delta^2x_n=(2a)\\ \Delta^2x_{n+1}=(2a) \end{array}\right.\Longrightarrow \Delta^3x_n=0 \end{align}$$

اینک به صورت قهقرایی (عقب‌گرد) رابطه‌ها را در هم بگذارید و باز کنید.

$$\begin{align} 0 &= \Delta^3x_n\\ &= \Delta^2x_{n+1}-\Delta^2x_n\\ &= (\Delta x_{n+2}-\Delta x_{n+1})-(\Delta x_{n+1}-\Delta x_n)\\ &= \Delta x_{n+2}-2\Delta x_{n+1}+\Delta x_n\\ &= (x_{n+3}-x_{n+2})-2(x_{n+2}-x_{n+1})+(x_{n+1}-x_n)\\ &= x_{n+3}-3x_{n+2}+3x_{n+1}-x_n \end{align}$$

برای کاربرانی که درس آنالیز عددی ۱ کارشناسی داشته‌اند این تفاضلات و رابطه‌ها آشناست و می‌دانند که خیلی راحت برای $\Delta^n$ می‌توانند ضریب‌های سطر $n$اُم سه‌گوش خیام-نیوتن را استفاده کنند. به هر حال. با یک بازچینی اندیس‌ها داریم:

$$x_n=3x_{n-1}-3x_{n-2}+x_{n-3}$$

که دقیقا یک رابطهٔ بازگشتی خطی سه‌جمله‌ای است. و البته نیاز به داشتن سه شرط اولیه یا همان سه جمله از دنباله برای یکتا شدنش دارید که می‌توانید برای نمونه مقدارهای زیر را بردارید.

$$x_1=a+b+c,\;x_2=4a+2b+c,\;x_3=9a+3b+c$$

برای اینکه مطمئن شوید، می‌توانید از همان راهکار ارائه شده در پاسخی که در بالا اشاره شد استفاده کنید و جملهٔ سرراست برای این رابطهٔ بازگشتی خطی بدهید. پس چندجمله‌ای سرشت‌نمایش را می‌نویسیم.

$$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$$

که با $(x-1)^3$ یکسان است پس دارای سه ریشهٔ تکراری و برابر با ۱ است. در نتیجه شکل کلی پاسخ باید به شکل زیر باشد.

$$\begin{align} x_n &= c_1(1^n)+c_2n(1^n)+c_3n^2(1^n)\\ &= c_1+c_2n+c_3n^2 \end{align}$$

با جایگذاری سه مقدار برای $n$ و حل آن مثلا برای $n=1,2,3$ خواهیم داشت:

$$c_1=c,\;c_2=b,\;c_3=a$$

که یعنی به $x_n=an^2+bn+c$ برگشتیم.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...