دنبالهٔ درجهٔ دویتان را چگونه تعریف می‌کنید؟
x_n=an^2+bn+c
که a,b,c سه عدد ثابت هستند. ساده‌ترین ایده برای ساختن یک رابطهٔ بازگشتی محاسبهٔ اختلاف دو جملهٔ پشت‌سرهم (متوالی) است.
\begin{align}
& x_{n+1}=a(n+1)^2+b(n+1)+c=an^2+(2a+b)n+(a+b+c)\\
& x_{n+1}-x_n=2an+a+b
\end{align}
پس خیلی ساده یک رابطهٔ بازگشتی برای دنباله‌تان به شکل زیر است.
x_{n+1}=x_n+2an+a+b,\;x_1=a+b+c
رابطه‌ای که پیدا کردیم یک رابطهٔ بازگشتی است و به عنوان پاسخ برای پرسش شما پذیرفته‌است. ولی اگر بخواهیم شرایط را محدودتر کنیم یعنی فقط دنبال رابطهٔ بازگشتی خطیِ همگن باشیم آنگاه می‌توانیم ایدهٔ استفاده از تفاضلات را در این مورد بیشتر پیش ببریم. یک دلیل علاقه به رابطه‌های بازگشتیِ خطیِ همگن داشتن رده‌بندیِ کامل برای رفتارشان و همینطور جملهٔ سرراست‌شان هست که می‌توانید در این زمینه در پاسخ دیگری که پیش‌تر فرستاده‌ام بخوانید (اینجا کلیک کنید).
اگر تیزبین باشید، متوجه شده‌اید که با استفاده از ایدهٔ تفاضلات با یک‌بار استفاده از تفاضل، توانِ بیشینهٔ چندجمله‌ایِ درجهٔ دویتان پریده‌است. بیایید تعریف کنید
\Delta x_n=x_{n+1}-x_n
پس نشان دادیم که
\Delta x_n=(2a)n+(a+b)
خودِ دنبالهٔ جدیدِ \Delta x_n یک دنبالهٔ چندجمله‌ای است، پس اگر یک تفاضل دیگر بر آن سوار کنیم درجه‌اش کاهش خواهد یافت.
\begin{align}
& \Delta^2x_n=\Delta(\Delta x_n)=\Delta x_{n+1}-\Delta x_n\\
& \left\lbrace\begin{array}{l}
\Delta x_n=(2a)n+(a+b)\\
\Delta x_{n+1}=(2a)(n+1)+(a+b)=(2a)n+(3a+b)
\end{array}\right.\Longrightarrow \Delta^2x_n=2a
\end{align}
کافیست یک بار دیگر تفاضل بزنیم تا کلا به صفر برسیم.
\begin{align}
& \Delta^3x_n=\Delta(\Delta^2x_n)=\Delta^2x_{n+1}-\Delta^2x_n\\
& \left\lbrace\begin{array}{l}
\Delta^2x_n=(2a)\\
\Delta^2x_{n+1}=(2a)
\end{array}\right.\Longrightarrow \Delta^3x_n=0
\end{align}
اینک به صورت قهقرایی (عقب‌گرد) رابطه‌ها را در هم بگذارید و باز کنید.
\begin{align}
0 &= \Delta^3x_n\\
&= \Delta^2x_{n+1}-\Delta^2x_n\\
&= (\Delta x_{n+2}-\Delta x_{n+1})-(\Delta x_{n+1}-\Delta x_n)\\
&= \Delta x_{n+2}-2\Delta x_{n+1}+\Delta x_n\\
&= (x_{n+3}-x_{n+2})-2(x_{n+2}-x_{n+1})+(x_{n+1}-x_n)\\
&= x_{n+3}-3x_{n+2}+3x_{n+1}-x_n
\end{align}
برای کاربرانی که درس آنالیز عددی ۱ کارشناسی داشته‌اند این تفاضلات و رابطه‌ها آشناست و می‌دانند که خیلی راحت برای \Delta^n می‌توانند ضریب‌های سطر nاُم سه‌گوش خیام-نیوتن را استفاده کنند. به هر حال. با یک بازچینی اندیس‌ها داریم:
x_n=3x_{n-1}-3x_{n-2}+x_{n-3}
که دقیقا یک رابطهٔ بازگشتی خطی سه‌جمله‌ای است. و البته نیاز به داشتن سه شرط اولیه یا همان سه جمله از دنباله برای یکتا شدنش دارید که می‌توانید برای نمونه مقدارهای زیر را بردارید.
x_1=a+b+c,\;x_2=4a+2b+c,\;x_3=9a+3b+c
برای اینکه مطمئن شوید، می‌توانید از همان راهکار ارائه شده در پاسخی که در بالا اشاره شد استفاده کنید و جملهٔ سرراست برای این رابطهٔ بازگشتی خطی بدهید. پس چندجمله‌ای سرشت‌نمایش را می‌نویسیم.
f(x)=x^3-3x^2+3x-1
که با (x-1)^3 یکسان است پس دارای سه ریشهٔ تکراری و برابر با ۱ است. در نتیجه شکل کلی پاسخ باید به شکل زیر باشد.
\begin{align}
x_n &= c_1(1^n)+c_2n(1^n)+c_3n^2(1^n)\\
&= c_1+c_2n+c_3n^2
\end{align}
با جایگذاری سه مقدار برای n و حل آن مثلا برای n=1,2,3 خواهیم داشت:
c_1=c,\;c_2=b,\;c_3=a
که یعنی به x_n=an^2+bn+c برگشتیم.
