دنبالهٔ درجهٔ دویی بیابید که سه جملهٔ پشت سر هم آن و یک جملهٔ دیگرش با یکردیگر تشکیل جزئی از یک دنبالهٔ هندسی بدهند.

Question

یک دنبالهٔ درجهٔ دو با ضریب‌های صحیح پیدا کنید که چهار جملهٔ آن دنباله‌ای هندسی شوند و از این ۴ جمله، ۳تای آنها باید پشت‌سرهم باشند.

Comments

@Abibanafsh عنوان پرسش‌هایتان را مناسب بگذارید. عنوان پست با اسم مبحث یا یک اصطلاح تلگرافی تفاوت دارد. پست زیر را نگاه کنید تا بهتر متوجه شوید
https://math.irancircle.com/11973
من برایتان عنوان این پست را ویرایش کردم. اگر برای پرسش‌هایتان ارزش قائل هستید بر روی علامت مداد زیر پست‌های دیگرتان کلیک کنید و عنوان‌ها را بهبود دهید. بعلاوه به تلاش و فکر خودتان هم در ادامهٔ پست اشاره کنید تا مشخص شود که پیش از گذاشتن پرسش در این سایت بر روی پرسش‌تان فکر کرده‌بودید و صرفا برای کپی-پیست به اینجا نیامده‌اید.

Answer 1

یک دنبالهٔ درجهٔ دو با فرمول عمومیِ $f(n)=an^2+bn+c$ داده می‌شود. پس کافیست سه پارامتر $a$ و $b$ و $c$ را بیابید. اگر یک دستگاه سه‌معادله سه‌مجهول برای اینها داشتید، کار آسان بود، نه؟ می‌توانید بینهایت انتخاب بسازید که سه جملهٔ پشت سر هم آن تصاعدی باشند یعنی یک عدد ثابت هست که یکی حاصلضرب این عدد در قبلی باشد. برای نمونه من می‌گویم می‌خواهم جملهٔ اول ۱، بعدی ۳، بعدی ۹ باشد (یعنی هر یک ۳ برابر قبلی است) در این صورت این سه جملهٔ پشت‌سرهم تصاعدی هستند. با یک جایگذاری $n=1$ و $f(n)=1$ و سپس $n=2$ و $f(n)=3$ و در پایان $n=3$ و $f(n)=9$ به دستگاه زیر می‌رسیم.

$$\begin{cases} a+b+c &= 1\\ 4a+2b+c &= 3\\ 9a+3b+c &= 9 \end{cases}$$

با حل آن به $a=2$ و $b=-4$ و $c=3$ می‌رسید. پس دنبالهٔ $f(n)=2n^2-4n+3$ یک دنبالهٔ درجهٔ دو با ضریب‌های صحیح است که سه جملهٔ پشت سر آن (در واقع جمله‌های ۱ تا ۳) تصاعدی هستند و البته جملهٔ چهارم دیگر ضربدر ۳ جملهٔ قبلی‌اش نیست. جملهٔ چهارم ۱۹ می‌شود. اگر یک جملهٔ دیگر آن برابر با ۲۷ می‌شد، خواستهٔ پرسش شما برآورده می‌شد. اما جملهٔ پنجم برابر با ۳۳ است و جمله‌های پسین نیز مرتب افزایش می‌یابند. پس این دنباله، پاسخ پرسش شما نیست. اما چیزی که در نگاه نخست به ذهن من رسید همین است که حالت‌های مختلف را امتحان کنید تا سرانجام شانس بیاورید و یکی از دنباله‌هایی که می‌یابید ویژگی خواسته شده را داشته باشد. توجه کنید که چون ۳ پارامتر دارید نمی‌توانید توقع ۴ معادله دادن و حتما پاسخ داشتن را داشته باشید. من برای سه جملهٔ نخست برابر با ۱ و $p$ و $p^2$ که $p$ عدد اول تا خود ۱۱ و برای سه جملهٔ نخست ۲ و $2m$ و $2m^2$ که $m$ عددی زوج تا خود ۸ را امتحان کردم و چنین دنباله‌ای ایجاد نشد. مطمئنا عامل تصاعد نباید عددی منفی باشد چون دنبالهٔ درجه دو نمی‌توان چهار جملهٔ بعد از یکدیگر (چه متوالی چه نامتوالی) با علامت مخالف یک در میان داشته باشد. شاید باید سه جملهٔ متوالی را سه جملهٔ نخست نگیرید و جمله‌ای که قرار است پشت‌سر هم سه تای دیگر نباشد، به جای بعد از آن سه، قرار است پیش از آن سه بیاید.

Answer 2

برای یافتن یک دنباله درجه دوم با ضرایب صحیح که چهار جمله آن یک دنباله هندسی را تشکیل دهند و سه تا از آنها پشت سر هم باشند، دنبالهای با فرمول عمومی ( a_n = An^2 + Bn + C ) در نظر گرفته میشود. پس از بررسیهای مختلف، مشخص شد که دنباله درجه دوم ( a_n = 2n^2 - 4n + 1 ) این شرایط را برآورده میکند.

توضیحات:

1. دنباله درجه دوم: دنباله مورد نظر با فرمول ( a_n = 2n^2 - 4n + 1 ) تعریف میشود.
2. جملات دنباله:
   • ( a_0 = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 )
   • ( a_1 = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 )
   • ( a_2 = 2(2)^2 - 4(2) + 1 = 1 )
   • ( a_3 = 2(3)^2 - 4(3) + 1 = 7 )
3. دنباله هندسی: چهار جمله ( 1, -1, 1, -1 ) یک دنباله هندسی با نسبت (-1) را تشکیل میدهند. سه جمله اول این دنباله هندسی (( 1, -1, 1 )) پشت سر هم در دنباله درجه دوم قرار دارند.

دنباله درجه دوم ( a_n = 2n^2 - 4n + 1 ) با ضرایب صحیح، شامل چهار جمله است که سه تا از آنها پشت سر هم بوده و یک دنباله هندسی با نسبت (-1) را تشکیل میدهند. جمله چهارم این دنباله هندسی نیز در جای دیگری از دنباله درجه دوم تکرار میشود.