یک دنبالهٔ درجهٔ دو با فرمول عمومیِ $f(n)=an^2+bn+c$ داده میشود. پس کافیست سه پارامتر $a$ و $b$ و $c$ را بیابید. اگر یک دستگاه سهمعادله سهمجهول برای اینها داشتید، کار آسان بود، نه؟ میتوانید بینهایت انتخاب بسازید که سه جملهٔ پشت سر هم آن تصاعدی باشند یعنی یک عدد ثابت هست که یکی حاصلضرب این عدد در قبلی باشد. برای نمونه من میگویم میخواهم جملهٔ اول ۱، بعدی ۳، بعدی ۹ باشد (یعنی هر یک ۳ برابر قبلی است) در این صورت این سه جملهٔ پشتسرهم تصاعدی هستند. با یک جایگذاری $n=1$ و $f(n)=1$ و سپس $n=2$ و $f(n)=3$ و در پایان $n=3$ و $f(n)=9$ به دستگاه زیر میرسیم.
$$\begin{cases}
a+b+c &= 1\\
4a+2b+c &= 3\\
9a+3b+c &= 9
\end{cases}$$
با حل آن به $a=2$ و $b=-4$ و $c=3$ میرسید. پس دنبالهٔ $f(n)=2n^2-4n+3$ یک دنبالهٔ درجهٔ دو با ضریبهای صحیح است که سه جملهٔ پشت سر آن (در واقع جملههای ۱ تا ۳) تصاعدی هستند و البته جملهٔ چهارم دیگر ضربدر ۳ جملهٔ قبلیاش نیست. جملهٔ چهارم ۱۹ میشود. اگر یک جملهٔ دیگر آن برابر با ۲۷ میشد، خواستهٔ پرسش شما برآورده میشد. اما جملهٔ پنجم برابر با ۳۳ است و جملههای پسین نیز مرتب افزایش مییابند. پس این دنباله، پاسخ پرسش شما نیست. اما چیزی که در نگاه نخست به ذهن من رسید همین است که حالتهای مختلف را امتحان کنید تا سرانجام شانس بیاورید و یکی از دنبالههایی که مییابید ویژگی خواسته شده را داشته باشد. توجه کنید که چون ۳ پارامتر دارید نمیتوانید توقع ۴ معادله دادن و حتما پاسخ داشتن را داشته باشید. من برای سه جملهٔ نخست برابر با ۱ و $p$ و $p^2$ که $p$ عدد اول تا خود ۱۱ و برای سه جملهٔ نخست ۲ و $2m$ و $2m^2$ که $m$ عددی زوج تا خود ۸ را امتحان کردم و چنین دنبالهای ایجاد نشد. مطمئنا عامل تصاعد نباید عددی منفی باشد چون دنبالهٔ درجه دو نمیتوان چهار جملهٔ بعد از یکدیگر (چه متوالی چه نامتوالی) با علامت مخالف یک در میان داشته باشد. شاید باید سه جملهٔ متوالی را سه جملهٔ نخست نگیرید و جملهای که قرار است پشتسر هم سه تای دیگر نباشد، به جای بعد از آن سه، قرار است پیش از آن سه بیاید.
