اگر اضلاع یک مثلث تصاعد هندسی بسازند سه ارتفاع مثلث نیز تشکیل تصاعد هندسی میدهند.

Question

ثابت کنید اگر اضلاع یک مثلث تصاعد هندسی بسازند سه ارتفاع مثلث نیز تشکیل تصاعد هندسی میدهند.

Answer 1

اضلاع مثلث را $a, b,c$ و ارتفاعهای آنرا با $h_{a} , h_{b} , h_{c}$ نشان می دهیم. لذا داریم:

$$b^{2}=ac$$

و

$$2 S_{ABC}=a. h_{a} =b. h_{b} =c. h_{c}$$

لذا داریم:

$$2S \times 2S=2S \times 2S \Rightarrow b. h_{b} \times b. h_{b} =a.h_{a} \times c. h_{c}$$ $$\Longrightarrow$$ $$b^{2}( h_{b} )^{2}=ac( h_{a} h_{c} ) \Longrightarrow h_{b}^{2}= h_{a} h_{c}$$

بنابراین ارتفاع ها نیز تشکیل تصاعد هندسی می دهند.