اضلاع مثلث را $a, b,c $ و ارتفاعهای آنرا با $ h_{a} , h_{b} , h_{c} $ نشان می دهیم. لذا داریم:
$$ b^{2}=ac$$
و
$$ 2 S_{ABC}=a. h_{a} =b. h_{b} =c. h_{c} $$
لذا داریم:
$$ 2S \times 2S=2S \times 2S \Rightarrow b. h_{b} \times b. h_{b} =a.h_{a} \times c. h_{c} $$
$$ \Longrightarrow $$
$$ b^{2}( h_{b} )^{2}=ac( h_{a} h_{c} ) \Longrightarrow h_{b}^{2}= h_{a} h_{c} $$
بنابراین ارتفاع ها نیز تشکیل تصاعد هندسی می دهند.
