Question

اگر یک مثلث داشته باشیم و ارتفاع های آن یک تصاعد هندسی بسازند، قدر نسبت این تصاعد چند میتواند باشد؟(میدانیم که اگر ضلع ها تشکیل تصاعد هندسی دهند ارتفاع ها هم در دنباله ی هندسی قرار خواهند داشت)

Answer 1

اگر اضلاع مثلث را $ \frac{a}{q}, a , aq $ فرض کنیم به طوری که $ \frac{a}{q}< a $و $a< aq $ که دراینصورت $q>1$ خواهد بود. از طرفی مجموع هر دو ضلع باید بزرگتر از ضلع سوم باشد

$ \begin{cases} \frac{a}{q}+ a>aq(1)\\\frac{a}{q}+ aq>a(2) \\a+aq>\frac{a}{q}(3) \end{cases} $

باساده کردن $a$ از (1) خواهیم داشت: $ \frac{1- \sqrt{5} }{2}< q< \frac{1+ \sqrt{5} }{2} $ واز (2) خواهیم داشت:$q \epsilon R$ واز (3) خواهیم داشت:$q< \frac{-1-\sqrt{5} }{2}یاq>\frac{-1+ \sqrt{5} }{2}$

که با اشتراک گیری بین این سه تا وباتوجه به $q>1$ نتیجه نهایی $q$ میتواند بین 1 و $\frac{1+ \sqrt{5} }{2}$باشد