هزینهٔ تولید $x$ و $y$ مقدار از دو کالا با تابع $c=25+3x^2+xy+10y^2$ بدست میآید. هزینهٔ نهایی نسبت به $x$ و $y$ در نقطهٔ $(3,2)$ را بیابید.

Question

در درس اقتصاد پرسش زیر را داده‌اند: اگر تابع هزینهٔ مشترک برای تولید مقادیر $x$ و $y$ از دو کالا به معادلهٔ $c=25+3x^2+xy+10y^2$ باشد، هزینهٔ نهایی نسبت به $x$ و $y$ را در $x=3$ و $y=2$ محاسبه کنید.

Comments

@hame_dh1994 تعریف هزینهٔ نهایی را می‌دانید؟ تلاش خودتان را اشاره کنید.

Answer 1

هزینهٔ نهایی که انگلیس آن marginal cost است در هر لحظه متفاوت است. هزینهٔ نهایی در یک لحظهٔ خاص برابر با هزینه‌ای است که برای تولید یک عدد کالا بیشتر از تعداد کالایی که تا کنون تولیدشده نیاز است. این برای حالتی است که تولید شما برای کالا با یکای گسسته است برای نمونه تولید تعدادی جعبهٔ خاتم‌کاری. یکای شما یک دانه جعبه است و تعداد کالاها عددی طبیعی است. اگر تولید شما یکای پیوسته داشته باشد یعنی برای نمونه فرض کنید هر عدد حقیقیِ نامنفی‌ای را بپذیرد برای نمونه فرض کنید حتی $0.014$ گرم هم ممکن باشد، آنگاه محصول شما برای نمونه زعفران هر عدد حقیقی مثبتی می‌تواند باشد و تابعی که به هر مقدار گرم زعفران، هزینهٔ تولیدش را نسبت می‌دهد یک تابع با دامنه‌ای پیوسته می‌شود. در این حالت هزینهٔ نهایی در یک لحظه برابر با مشتق تابع هزینه در آن زمان می‌شود که شیب افزایش تابع هزینه را نشان می‌دهد که اگر تمایل به ادامه دادن به تولید در آن لحظه کنید تقریبا چقدر باید بیشتر هزینه کنید (اگر میزان کوچکی را اضافه کنید، هزینهٔ تولید این میزان، تقریبا برابر با حاصلضرب شیبِ محاسبه شده در مقدار انتخاب‌شده می‌شود، اما اگر میزان را به اندازهٔ کافی کوچک برندارید این تقریب خیلی تقریب خوبی نخواهدشد پس در تعبیر هزینهٔ نهایی در حالت پیوسته دقت کنید).

اما برگردیم به حالت گسسته. در این حالت کافیست از تفاضل استفاده کنید. اگر تعداد کالاها یکی یکی افزایش می‌یابد، آنگاه خیلی ساده هزینهٔ $n+1$ کالا را از هزینهٔ $n$ کالا بکاهید. اما اگر تعدادها متفاوت افزوده می‌شوند برای نمونه ۴۰ چوب‌کبریت کوچکترین واحدتان است یا نیم‌لیتر کوچکترین واحدتان است. آنگاه اگر تا اینجا $x$ مقدار تولید کرده‌اید و کوچکترین واحد $u$ است، هزینهٔ $x+u$ مقدار کالا را از هزینهٔ $x$ مقدار کالا بکاهید و حاصل را تقسیم بر $u$ کنید تا سهم هزینهٔ یک عدد کالای جدید در این لحظه مشخص شود. توجه کنید گفته شد «سهم»-ِ یک کالای جدید در این لحظه، که با هزینهٔ دقیقا یک کالای جدید فرق دارد.

در پرسش‌تان هیچ داده‌ای که وضعیت را مشخص کند نیاورده‌اید، احتمالا حالت پیوسته را مدنظر داشته‌اید. در اینصورت چیزی که می‌خواهید مشتق‌های پاره‌ای (جزئی) هستند. توجه کنید که هزینهٔ نهایی کالای نخست کاری به کالای دوم ندارد و تنها نسبت به افزایش کالای نخست تصمیم می‌گیرد که یعنی تعداد کالای دوم را ثابت می‌گیریم. این دلیل استفاده از مشتق پاره‌ای است.

\begin{align} & \frac{\partial c}{\partial x}\mid_{(x,y)=(3,2)}=(6x+y)\mid_{(x,y)=(3,2)}=20\\ & \frac{\partial c}{\partial y}\mid_{(x,y)=(3,2)}=(x+20y)\mid_{(x,y)=(3,2)}=43 \end{align}