برای هر مجموعهٔ اندازه پذیر $E\subseteq\mathbb{R}$ و عدد مثبت $\epsilon$ مجموعهٔ بازی شامل $E$ هست که اندازهٔ خارجی تفاضلشان کمتر از $\epsilon$ شود.

Question

فرض کنید $\mu$ یک اندازهٔ خارجی بر روی $\mathbb{R}$ باشد. اگر $E\subseteq\mathbb{R}$ یک مجموعهٔ اندازه‌پذیر باشد، نشان دهید به ازای هر $\varepsilon>0$ زیرمجموعهٔ باز $O$ای شامل $E$ وجود دارد که $\mu(O-E)<\varepsilon$.

Comments

@Hanie77akrami تفاوت پیش و پس از ویرایشی که بر روی عنوان و متن پرسش‌تان انجام دادم را نگاه کنید.

Answer 1

با توجه به اینکه $$\mu(E)=\inf \{ \mu(U): U\supseteq E , \ \ U \ is\ open \}$$، یک $O\supseteq E$ باز وجود دارد طوری که $\mu(O)-\mu(E)<\epsilon $.

حال داریم: $$ \mu(O)=\mu((O\backslash E)\cup (O\cap E))=\mu(O\backslash E)+\mu(O\cap E) $$

Comments

mdgi@
از طریق خاصیت مشخصه اینفیمم بریم بدست میاد.

---

بله همینطوره