Question

اگر aیک عدد کاردینالیتی نامتناهی باشد آیاa+1 برابر aاست. ممنون میشم اثبات کنید. احساس میکنم که این حرف درست است ولی اثباتی برایش پیدا نمیکنم

Answer 1

تعریف $Dedekind $ از نامتناهی این است: یک مجموعه $X$ نامتناهی است اگروتنها اگر یک دوسویی بین $X$ و یک زیرمجموعه محض از $X$ وجود داشته باشد.

حال فرض کنیم $X$ نامتناهی باشد و $|X|=a$ و $y_0\notin X $. در این صورت یک زیر مجموعه محض(سره) $X_1\subseteq X$ و یک نگاشت دوسویی $\phi :X\to X_1$ وجود دارد. بنابراین یک نگاشت دوسویی $\phi':X\cup \lbrace y_0\rbrace \to X_1\cup \lbrace y_0\rbrace $ وجود دارد. پس $|X\cup \lbrace y_0\rbrace |=|X_1\cup \lbrace y_0\rbrace |\leq |X|$ . بنابراین $|X\cup \lbrace y_0\rbrace |\leq|X|$ و این نتیجه می‌دهد $a+1=a$.

Comments

واقعا ممنون خیلی اثبات خوبی بود

---

@آزادazad لطفا راهنمای سایت را بخوانید. وقتی که پستی برایتان مفید است باید روی فلش رو به بالای سمت راستش کلیک کنید و اگر هم پاسخی درست است روی تیک تأیید آن کلیک کنید. با توجه به صفحهٔ شناسه‌تان شما تا به حال یک بار هم امتیاز نداده‌اید. به جای نوشتن کتبی تشکر در دیدگاه بر روی مثلث رو به بالای پست‌ها کلیک کنید.