با کمک تعریف مجموعهٔ نقاط درونی و مجموعهٔ نقاط حدی را برای دنبالهٔ $\lbrace\frac{1}{n}\rbrace_{n\in\mathbb{N}}$ به دست آورید.

Question

با استفاده از تعریف چگونه می‌توان مجموعهٔ نقاط درونی و مجموعهٔ نقاط حدی را برای دنبالهٔ $\lbrace\frac{1}{n}\rbrace_{n\in\mathbb{N}}$ به دست آورد؟

Comments

حدس می‌زنید نقاط درون و حدی اش چه باشند؟

---

@mdgi
وقتی حد بگیریم میشه 0. ولی از طریق تعریف (که اشتراک همسایگی های هر نقطه با خود مجموعه بدون
نقاط است)، باید یک مجموعه به دست بیاریم که نمیدونم چه جوری میشه با خود تعریف به مجموعه نقاط حدی رسید. (همین طور برای نقاط درونی)

---

مجموعه نقاط حدی مجموعه $A=\lbrace \frac{1}{n}:n\in \mathbb{N} \rbrace $  میشه  $\lbrace 0\rbrace $.  زیرااولا یک دنباله وجود دارد که به صفر همگرا باشد. دوما برای اینکه نشان دهیم نقاط غیر صفر، حدی نیستند، یک نقطه غیر صفر مانند $x_0$ در نظر می گیریم. یک $r_0$ موجود است طوری که $B(x_0,r_0)\cap A\backslash \lbrace x_0 \rbrace=\phi$  بنابراین $A$ نقطه حدی غیر صفر ندارد

---

@mdgi
لطفا پاسخ سوال رو در قسمت پاسخ بنویسید.
و با توضیحات کامل کمک کنید تا مفهوم نقاط درونی و حدی آموزش داده شود
سپاس

---

@erfanm
وقتی کسی دیدگاهی برای سوالی می گذارد، سوال کننده باید پیگیرش باشد. وقتی که پیگیری نکند ادامه جواب را چرا بنویسیم

---

هدف از پاسخ دادن به یک سوال این نیست که فقط شخص پرسشگر به پاسخ برسد.
ممکن است که این سوال، سوال خیلی ها باشد.

بعضی وقتها افرادی سوالی رو می پرسند و می روند. هیچ وقت برای دیدن پاسخ به محفل برنمیگردند و پیگیر حل سوال نمی شوند. ما به سوال پاسخ می دهیم تا اگر بعدها هر فرد دیگری این سوال برایش  پیش آمد بتواند از پاسخ استفاده کند.

Answer 1

مجموعه نقاط حدی مجموعه $A=\lbrace \frac{1}{n}:n\in \mathbb{N} \rbrace $ میشه $\lbrace 0\rbrace $. زیرااولا یک دنباله وجود دارد که به صفر همگرا باشد. دوما برای اینکه نشان دهیم نقاط غیر صفر، حدی نیستند، یک نقطه غیر صفر مانند $x_0$ در نظر می گیریم. یک $r_0$ موجود است طوری که $B(x_0,r_0)\cap (A\backslash \lbrace x_0 \rbrace)=\phi$ بنابراین $A$ نقطه حدی غیر صفر ندارد

از طرفی اگر باز هم $x_0$ رادر نظر بگیریم و همان $r_0$ را بدست آوریم، برای هر $r<r_0$ داریم: $B(x_0,r)\cap (A\backslash \lbrace x_0 \rbrace)=\phi$ پس $$ B(x_0,r)\nsubseteq A $$ پس $A$نقطه درونی ندارد