به دست آوردن نقاط حدی مجموعه داده شده

Question

اگر A={$\frac{k}{2^n}$ │k , n ∈ N , 1≤k≤ $2^n$ } باشد ، آنگاه مجموعه نقاط حدی مجموعه A را مشخص کنید .

منظور از N اعداد طبیعی هست)

Answer 1

مجموعه نقاط حدی A میشه بازه بسته صفر و یک. چون هر x در این بازه در نظر بگیرین و $\varepsilon > 0$ دلخواه باشد، طبق خاصیت ارشمیدسی اعداد حقیقی یک $n$ عضو اعداد طبیعی وجود دارد که $\frac{1}{2^n}< \varepsilon$ و از اینرو $k \epsilon N$ $(1 \leq k \leq 2^n)$ وجود دارد که $\frac{k}{2^n}$ در گوی به مرکز $x$ و شعاع $\varepsilon$ واقع میشود و این نشان می دهد که $x$ یک نقطه حدی مجموعه A است.