به دست آوردن نقاط حدی مجموعه داده شده

Question

اگر A={$ \frac{k}{2^n} $ │k , n ∈ N , 1≤k≤ $ 2^n $ } باشد ، آنگاه مجموعه نقاط حدی مجموعه A را مشخص کنید .

منظور از N اعداد طبیعی هست)

Answer 1

مجموعه نقاط حدی A میشه بازه بسته صفر و یک. چون هر x در این بازه در نظر بگیرین و $ \varepsilon > 0$ دلخواه باشد، طبق خاصیت ارشمیدسی اعداد حقیقی یک $n$ عضو اعداد طبیعی وجود دارد که $\frac{1}{2^n}< \varepsilon $ و از اینرو $k \epsilon N$ $(1 \leq k \leq 2^n)$ وجود دارد که $\frac{k}{2^n}$ در گوی به مرکز $x$ و شعاع $ \varepsilon $ واقع میشود و این نشان می دهد که $x$ یک نقطه حدی مجموعه A است.