ترکیبیات (بسط چند جمله ای ) با توجه به فرضی که در ابتدا داده شده باید در قسمت های بعد اثبات کنیم

Question

فرض کنید $a_{k}$ , $0 \leq k \leq 2n$ , ضریب $x^{k}$ در بسط $(1 + x + x^{2} )^{n}$ باشد.

الف) به ازای هر k , $0 \leq k \leq n$ ثابت کنید $a_{n+k} = a_{n-k}$.

ب) ثابت کنید $a_{0} a_{1} - a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} - ... - a_{2n-1} a_{2n}=0$.

ج) از تساوی $(1 + x + x^{2}) (1 - x + x^{2} ) = 1 + x^{2} + x^{4}$ استفاده کرده و ثابت کنید

$a^{2}_{0} - a^{2}_{1} + a^{2}_{2} - ... + (-1)^{n+1} a^{2}_{n-1} = \frac{1}{2}( a_{n} + (-1)^{n+1}a^{2}_{n})$

د) ثابت کنید حاصل عبارت

$\binom{n}{0} a_{r} - \binom{n}{1} a_{r-1} + \binom{n}{2} a_{r-2} - ... + (-1)^{r}\binom{n}{r} a_{0}$

وقتی که $r$ مضرب $3$ نیست برابر صفر و وقتی که $r = 3s$ برابر $(-1)^{s}\binom{n}{s}$ است

Answer 1

حل:

الف) بنابه تعریف داریم:

$(1+x+x^2)^n= \sum _{n_1+n_2+n_3} \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!} 1^{n_1}x^{n_2}(x^2)^{n_3}= \sum _{n_1+n_2+n_3} \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}x^{n_2+2n_3}$

این بسط شامل $2n+1$ جمله است.(چرا؟) حالا اگر برای هر $0 \leq k \leq 2n$ تعریف کنید:

$A_k=${$(n_1,n_2,n_3)|n_1,n_2,n_3 \in W,n_1+n_2+n_3=n,n_2+2n_3=k$}

آنگاه داریم:

$(1+x+x^2)^n = \sum _{k=0}^{2n}a_kx^k$

$= a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{2n}x^{2n}$

$,a_k= \sum _{(n_1,n_2,n_3) \in A_k} \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}$

حالا اگر $0 \leq k \leq n$ به سادگی (؟) می توان نشان داد که:

$(n_1,n_2,n_3) \in A_{n-k} \Leftrightarrow (n_3,n_2,n_1) \in A_{n+k}$

و چون :

$\sum _{n_1+n_2+n_3} \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}$

$=\sum _{n_1+n_2+n_3} \frac{n!}{n_3!n_2!n_1!}$

$\Rightarrow A_{n-k}=A_{n+k}$

ب):از قسمت الف استفاده کنید:

$a_0a_1-a_1a_2+...-a_{2n-1}a_{2n} = \sum_{k=0}^{n-1} (a_ka_{k+1}-a_{2n-1-k}a_{2n-k})$

$= \sum_{k=0}^{n-1} (a_ka_{k+1}-a_{n+n-1-k}a_{n+n-k})= \sum_{k=0}^{n-1} (a_ka_{k+1}-a_{k+1}a_k)= \sum_{k=0}^{n-1}0=0$

ج):در بسط فوق به جای $x$ قرار دهید$- \frac{1}{x}$.پس داریم:

$(1- \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2} )^n=a_0- \frac{a_1}{x}+...+ \frac{a_{2n}}{x^{2n}}$

$\Rightarrow (1-x+x^2)^n=a_{2n}-a_{2n-1}x+...-a_1x^{2n-1}+a_{2n}x^{2n}$

$\Rightarrow (a_0+a_1x+...+a_{2n}x^{2n})(a_{2n}-a_{2n-1}x+...-a_1x^{2n-1}+a_0ax^{2n})=(1+x^2+x^4)^n$

حالا اگر در این بسط زیبا ضریب $x^{2n}$ را در نظر بگیریم داریم:

$a_0^2-a_1^2+...+a_{2n}^2=a_n$

حالا اگر باز هم الف را بکار ببندیم داریم:

$a_n=a_0^2-a_1^2+...+(-1)^{n-1}+(-1)^na_n+(-1)^{n+1}a_{n+1}+...+a_{2n}$

$=a_0^2-a_1^2+...+(-1)^{n-1}+(-1)^na_n+(-1)^{n+1}a_{n+1}+...+a_{n+n}$

$=a_0^2-a_1^2+...+(-1)^{n-1}+(-1)^na_n+(-1)^{n-1}a_{n+1}+...+a_{n-n}$

$=a_0^2-a_1^2+...+(-1)^{n-1}+(-1)^na_n+(-1)^{n+1}a_{n+1}+...+a_0$

$a_0^2-a_1^2+...+(-1)^{n-1}a_{n-1}= \frac{1}{2} (a_n-(-1)^na_n^2) = \frac{1}{2} (a_n+(-1)^{n+1}a_n^2)$

حل د:برای این قسمت از استقراء روی $n$ استفاده کنید و توجه کنید که:

$(1+x+x^2)^{n+1}=a_0+[a_0+a_1]x+[a_0+a_1+a_2]x^2+...+[a_{n-2}+a_{n-1}+a_n]x^n+...+[a_{2n-2}+a_{2n-1}+a_{2n}]x^{2n}+[a_{2n-1}+a_{2n}]x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n+2}$

$\Box$