اثبات کنید که تابع داده شده، تابعی پیوسته و یک به یک بر$ \big[0,1\big] \bigcup \big(2,3\big]$ بروی$ \big[0,2\big]$ است که باز نیست

Question

ثابت کنید تابع $f:([0,1] \bigcup (2,3],|.|) \rightarrow ([0,2],|.|)$ $f(x) =\begin{cases}x& x \in [0,1]\\ x-1 & x \in(2,3]\end{cases} $ تابعی پیوسته و یک به یک بر $ \big[0,1\big] \bigcup \big(2,3\big]$ بروی $ \big[0,2\big]$ است که باز نیست.

Answer 1

باز نیست چون $$f( (\frac{1}{2},1] )=(\frac{1}{2},1]$$ درحالی که $(\frac{1}{2},1]$ در دامنه، مجموعه ای باز است ولی در برد، مجموعه ای باز نیست.

تابع $f$ پیوسته است زیرا اگر $U$ مجموعه ای باز در برد باشد، $$f^{-1}(U)=\lbrace x\in [0,1]\cup (2,3]: f(x)\in U\rbrace =\lbrace x\in [0,1]:f(x)\in U\rbrace\cup\lbrace x\in(2,3]:f(x)\in U\rbrace=(f^{-1}(U)\cap [0,1] )\cup (f^{-1}(U)\cap(2,3])$$ ولی توابع $x$ و $x-1 $ هر دو پیوسته هستند بنابراین دو مجموعه $(f^{-1}(U)\cap [0,1] )$ و $(f^{-1}(U)\cap [0,1] )$ در دامنه، باز هستند.