فرض کنید $f:A \longrightarrow B$ تابعی پوشا باشد.حالا تعریف کنید:
$ \forall b \in B:A(b):=f^{-1}(b)=[a \in A \mid f(a)=b]$
چون $f$ پوشاست هر کدام از $A(b)$ ها غیر تهی است.لذا بنا به اصل انتخاب تابع انتخاب زیر موجود است:
$ \phi:[A(b)]_{b \in B} \longrightarrow \cup _{b \in B}A(b), \phi (b) \in A(b),( \Rightarrow f( \phi (b))=b)$
حالا تابع $g$ را بصورت زیر تعریف کنید:
$g:B \longrightarrow A,g(b)= \phi (b)$
واضح است که تابع انتخاب خوش تعریفی $g$ را تضمین می کند و:
$ \forall b \in B :fog(b)=f(g(b))=f( \phi (b))=b=I(b) \Rightarrow fog=I_B$
برعکس فرض کنید که تابع $g:B \longrightarrow A$ موجود است که $fog=I_B$ .بنابر این:
$ \forall b \in B:b=I_B(b)=fog(b)=f(g(b))$
و اینم یعنی $f$ پوشاست.
$ \Box $
