f تابع پوشاست اگر و تنها اگر تابعی مانند g وجودداشته باشد ، به طوریکه fog=I. M که I تابع همانی رویB است

Question

ثابت کنید که تابع fاز A به B پوشاست، اگر و تنها اگر یک تابع مانند g از Bبه A وجود داشته باشد به طوریکه fog=I ، که در آن I تابع همانی روی B است.

Comments

تلاشی روی یک طرفش که میگه: فرض کنید تابع $g$ وجود داشته باشد که ....
نکرده اید؟

---

@mdgi
چون تابع f پوشاست و fog یک تابع همانی است،باید تابعg معکوس راست f باشه و برای اثبات به اصل انتخاب نیاز داریم؟! درسته؟!

---

خیر برای اینطرفش نیازی به اصل انتخاب نیست. چون $fog=I$ پس برای هر $y\in B$داریم $f(g(y))=y$ و این یعنی که تابع $f$ پوشاست.

ولی برای طرف دیگرش اصل انتخاب را بکار میبریم

Answer 1

فرض کنید $f:A \longrightarrow B$ تابعی پوشا باشد.حالا تعریف کنید:

$\forall b \in B:A(b):=f^{-1}(b)=[a \in A \mid f(a)=b]$

چون $f$ پوشاست هر کدام از $A(b)$ ها غیر تهی است.لذا بنا به اصل انتخاب تابع انتخاب زیر موجود است:

$\phi:[A(b)]_{b \in B} \longrightarrow \cup _{b \in B}A(b), \phi (b) \in A(b),( \Rightarrow f( \phi (b))=b)$

حالا تابع $g$ را بصورت زیر تعریف کنید:

$g:B \longrightarrow A,g(b)= \phi (b)$

واضح است که تابع انتخاب خوش تعریفی $g$ را تضمین می کند و:

$\forall b \in B :fog(b)=f(g(b))=f( \phi (b))=b=I(b) \Rightarrow fog=I_B$

برعکس فرض کنید که تابع $g:B \longrightarrow A$ موجود است که $fog=I_B$ .بنابر این:

$\forall b \in B:b=I_B(b)=fog(b)=f(g(b))$

و اینم یعنی $f$ پوشاست.

$\Box$