دنبالهای که شما دارید یک دنبالهٔ بازگشتی خطی با دو جمله است، تعداد جملههای مهم نیست. فرض کنید یک دنبالهٔ بازگشتیِ خطی با $d$ جمله دارید.
$$a_n=\alpha_1a_{n-1}+\alpha_2a_{n-2}+\cdots+\alpha_da_{n-d}$$
که در نتیجه باید مقدار دنباله در $d$ نقطه را هم بدانید. معمولا $d$ جملهٔ نخستین ولی واقعا اجباری نیست که حتما $a_1$ تا $a_d$ را به شما داشتهباشند، داشتن هر $d$ جملهای برایتان کافیست چون با جایگذاری قهقرایی (عقبگرد) میتوانید $d$ معادله با $d$ مجهول یعنی $a_1$ تا $a_d$ بسازید و این $d$ جملهٔ شروع را محاسبه کنید.
به هر حال. برای دادن یک ضابطهٔ سرراست برای چنین دنبالههایی راه بسیاز سادهای وجود دارد. یک چندجملهای به شکل زیر تعریف کنید که به آن اصطلاحا چندجملهای سرشتنما (مشخصه) برای دنبالهٔ بالا میگوئیم.
$$f(x)=x^d-\alpha_1x^{d-1}-\alpha_2x^{d-2}-\cdots-\alpha_{d-1}x-\alpha_d$$
سپس ریشههای آن را بیابید. بنا به قضیهٔ اساسی جبر، $d$ ریشهٔ مختلط با احتساب تکرار داریم. پس برخی ممکن است مختلطِ ناحقیقی (عددهای حقیقی مختلط نیز هستند) یا تکراری شوند. فعلا برای شروع فرض کنیم ریشهٔ تکراری نداشتید، حقیقی یا مختلط بودنشان مهم نیست. پس فرض میکنیم ریشهها $r_1$ تا $r_d$ باشند. در اینصورت یک فرمول سرراست برای دنبالهٔ بالا عبارت است از
$$a_n=c_1r_1^n+\cdots+c_dr_d^n$$
که $c_i$ها عددهایی ثابت هستند که با حل دستگاه خطیِ $n$برابری-$n$مجهولِ بدست آمده با جایگذاری $n$ و $a_n$ برای $n$های ۱ تا $d$ یا در کل $d$ جملهٔ داده شده محاسبه میشوند.
از اینکه این فرمول عدد مختلط ناحقیقی داشتهباشد نترسید، اگر دنباله بازگشتیِ نخست فقط عددهای حقیقی تولید کند، این فرمول نیز با اینکه ممکن است عدد مختلط داشتهباشد برای $n$های طبیعی عددهای حقیقی تولید خواهد کرد. اما میتوانید عددهای مختلط $r_i$ در فرمول بالا را با $\sin$ و $\cos$ نیز جابجا کنید تا نمایش فرمولتان خالی از عددهای مختلط شود. توجه کنید که ریشههای مختلط یک چندجملهای با ضرایب حقیقی همواره تعدادشان زوج است و به شکل مزدوج ظاهر میشوند یعنی $x\pm iy$ برای هر دوتایی که مزودج هم هستند به جای $c_1r_1^n+c_2r_2^n$ از $c_1'(\sqrt{x^2+y^2})^n\cos(n\theta)+c_2'(\sqrt{x^2+y^2})^n\sin(n\theta)$ استفاده کنید که $\theta$ یک زاویه است در $\arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})\cap\arcsin(\frac{y}{\sqrt{x^2}{y^2}})$. میتوانید خودتان نیز یک رابطه بین $c_i'$ها و $c_i$ها بیابید ولی لازم نیست چون میتوانید از ابتدا دستگاه معادلاتتان را با فرمول جدید حل کنید. اکنون میماند تکلیف ریشههای تکراری را مشخص کنیم. اگر برای نمونه $r_1$ به تعداد $m$ بار در ریشهها تکرار شود آنگاه به جای نوشتنِ $c_1r_1^n+\cdots+c_mr_1^n$ که در واقع با $(c_1+\cdots+c_m)r_1^n$ برابر است باید این را بنویسید $c_1r_1^n+c_2nr_1^n+\cdots+c_mn^{m-1}r_1^n$. پس کار تکمیل شد. کاربرانی که با دستگاههای معادلاتدیفرانسیل خطی یا سیستمهای دینامیکی آشنا هستند فرآیند بالا را مشابه فرآیند حل دستگاههای معادلاتدیفرانسیل خطی میبینند.
اکنون سه مثال دنبالهٔ بازگشتی خطی با دو جمله بزنیم که هر سه نوع ریشهٔ اشاره شده در بالا را نشان دهند.
$$\begin{align}
& a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2},\;a_1=1,\;a_2=2\\
& f(x)=x^2-3x+2\\
& r_1=1,\;r_2=2\\
& a_n=c_1(1^n)+c_2(2^n)=c_1+c_22^n\\
& \left\lbrace\begin{array}{l}
c_1+2c_2=1\\
c_1+4c_2=2
\end{array}\right.\Longrightarrow c_1=0,\;c_2=\frac{1}{2}\\
& a_n=\frac{1}{2}2^n=2^{n-1}
\end{align}$$
و میبینید که هر دو ضابطه، چه ضابطهٔ بازگشتی چه ضابطهٔ سرراست هر دو توانهای ۲ را از توان صفرم به ترتیب به شما میدهند ۱، ۲، ۴، ۸، ۱۶، ... .
$$\begin{align}
& a_n=2a_{n-1}-a_{n-2},\;a_1=1,\;a_2=2\\
& f(x)=x^2-2x+1\\
& r_1=r_2=1\\
& a_n=c_1(1^n)+c_2n(1^n)=c_1+c_2n\\
& \left\lbrace\begin{array}{l}
c_1+c_2=1\\
c_1+2c_2=2
\end{array}\right.\Longrightarrow c_1=0,\;c_2=1\\
& a_n=n
\end{align}$$
هر دو ضابطه، چه ضابطهٔ بازگشتی چه ضابطهٔ سرراست هر دو تعددهای طبیعی را به ترتیب به شما میدهند ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ... .
$$\begin{align}
& a_n=-a_{n-1}-a_{n-2},\;a_1=1,\;a_2=2\\
& f(x)=x^2+x+1\\
& r_1=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\;r_2=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\
& \frac{2\pi}{3}\in\arccos(\frac{1}{2})\cap\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})\\
& a_n=c_1'(1)^n\cos(n\frac{2\pi}{3})+c_2'(1)^n\sin(n\frac{2\pi}{3})=c_1'\cos(n\frac{2\pi}{3})+c_2'\sin(n\frac{2\pi}{3})\\
& \left\lbrace\begin{array}{l}
c_1'\cos(\frac{2\pi}{3})+c_2'\sin(\frac{2\pi}{3})=1\\
c_1'\cos(\frac{4\pi}{3})+c_2'\sin(\frac{4\pi}{3})=2
\end{array}\right.\Longrightarrow c_1=-3,\;c_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\
& a_n=-3\cos(n\frac{2\pi}{3})-\frac{1}{\sqrt{3}}\sin(n\frac{\pi}{3})
\end{align}$$
هر دو ضابطه، چه ضابطهٔ بازگشتی چه ضابطهٔ سرراست هر دو یک دنبالهٔ دورهای با طول دورهٔ ۳ به شما میدهند یعنی سه جمله، سه جمله به شما ۱ و ۲ و منفی ۳ میدهند،
$$1,2,-3,1,2,-3,1,2,-3,\cdots$$
