ریشه های برابریِ $ \frac{1}{x^2} + \frac{5}{x^2+1} = \frac{5}{4} $ را بیابید.

Question

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

معادلۀ زیر را در نظر بگیرید:

$ \frac{1}{x^2} + \frac{5}{x^2+1} = \frac{5}{4} $

ریشه های این معادله $2$ و $-2$ است،اما من می‌خواهم آن را به صورت جبری حل کنم،که اتفاقا این کار را هم کردم و آن را به‌صورت جبری حل کردم اما متاسفانه به مشکل برخوردم و مقدار $x$ اشتباه به‌دست آمد.

تلاش های خودم را برای حل این معادله می‌نویسم تا ببینید مشکل از کجاست:

$ \frac{1}{x^2} + \frac{5}{x^2+1} = \frac{5}{4} $

ابتدا طرفین معادله را در مخرج مشترک کسر ها یعنی $4x^2(x^2+1)$ ضرب می‌کنیم تا معادله از حالت کسری خارج شود.بعد از این کار و کمی ساده کردن معادله به شکل درمی‌آید:

$5x^4+19x^2+4=0$

که این یک معادلۀ شبه درجه دو است وبه سادگی با روش تغییر متغیر حل می‌شود.قرار می‌دهیم $x^2=t$ با این کار معادله به شکل یک معادلۀ درجه دو درمی‌آید:

$5t^2+19t+4=0$

با حل این معادله درجه دو به $t= \frac{-19 \pm \sqrt{281} }{10} $ و سپس $x= \pm \sqrt{\frac{-19 \pm \sqrt{281} }{10}} $ اما این مقدار اشتباه است.

مشکل راه حلم دقیقا کجاست که به مقداری اشتباه می‌رسم؟

Comments

@m.snb در چندجمله‌ای درجهٔ چهارتان علامت‌ها را اشتباه گذاشته‌اید. $5x^4-19x^2-4=0$ یا $-5x^4+19x^2+4=0$.

---

@AmirHosein فکر کنم بهتر بود در ویرایشی که انجام دادید برای صورت سوال، می‌نوشتید: ریشه‌های حقیقی برابری فلان را بیابید... چون ایشان ریشه‌های حقیقی مدنظرشان بود

Answer 1

درست این است: $$5t^2-19t-4=0$$ که یکی از ریشه‌های این معادله $-2$ و دیگری $4$ است. از آنجایی $-2$ قابل قبول نیست پس $t=4$ قابل قبول است که از آنجا نتیجه می‌شود $x^2=4 $ در نتیجه $x=2 , x=-2 $

(ریشه‌های حقیقی در نظر گرفته شده است)

Comments

@SinaMoradi ریشه ‌های غیر حقیقی را چگونه می‌توان به‌دست آورد؟

---

@m.snb از آنجایی که من دبیرستانی هستم آشنایی چندانی با اعداد مختلط ندارم ولی یکی دو ویدئوی آموزشی فهمیدم که وقتی مثلا $t^2=-2 $می‌شود، ما در دبیرستان می‌گوئیم معادله ریشه ندارد در صورتی که اشتباه است و باید بگوئیم ریشه‌ی حقیقی ندارد چون ریشه‌ی مختلط دارد و آن عبارت است از :$$     \pm(i\sqrt2)$$