می‌دانیم: $\sum_{i=1}^n i= \frac{n(n+1)}{2}$ جمع $\sum_{i=1}^n i ^{4}$ را بدست بیاورید

Question

می‌دانیم:

$$\sum_{i=1}^n i= \frac{n(n+1)}{2}$$

همانند مثال بالا فرم بسته‌ی جمع زیر را بدست بیاورید:

$$\sum_{i=1}^n i ^{4} =?$$

Comments

لطفا راهنمای تایپ ریاضی رو بخونید. شما کافیه فقط روی "ریاضی" کلیک کنید بعد بنویسید. لطفا سوالتونو ویرایش کنید.

Answer 1

جواب خیلی سر راست است فقط نوشتنش طول میکشه. برای این کار لازمه که شما فرمول های $\sum_i^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ و $\sum_1^n i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{2^2}$ را بلد باشید.

می توانید برای اثبات هر کدام از موارد بالا از اتحاد های $(k+1)^2-k^2=2k+1$ و $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ استفاده کنید.

برای اثبات مساله شما از اتحاد $(k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1$ در اینصورت داریم:

$$k=1\quad 2^5-1^5=5(1)^4+10(1)^3+10(1)^2+5(1)+1\\ k=2\quad 3^5-2^5=5(2)^4+10(2)^3+10(2)^2+5(2)+1\\ k=3\quad 4^5-3^5=5(3)^4+10(3)^3+10(3)^2+5(3)+1\\ .\\ .\\ .\\ k=(n-1)\quad n^5-(n-1)^5=5(n-1)^4+10(n-1)^3+10(n-1)^2+5(n-1)+1\\ k=n\quad (n+1)^5-n^5=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1\\ $$

اگر طرفین اتحاد های بالا را با هم جمع کنیم داریم:

$(n+1)^5-1^5=5\sum_1^n i^4+10\sum_1^n i^3+10\sum_1^n i^2+5\sum_1^n i+n$

حال چنانچه معادل عبارتهای $\sum_1^n i,\sum_1^n i^2,\sum_1^n i^3$ را قرار دهید و ساده کنید باید به عبارت زیر برسید:

$$\sum_1^n i^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}$$

Comments

جواب سوال میشه:
$\frac{n(1+n)(1+2n)(-1+3n^n+3n^2)}{30}$

---

@salahsharifi
ممنون برای ارسال دیدگاه.
لطفا فارسی بنویسید چون در غیر اینصورت حذف میشه. اگه با تایپ ریاضی آشنایی ندارید در داخل ویرایشگر بنویسید بعد داخل دیدگاه کپی کنید.
بله کاملا درست میگید چون $(1+2n)(-1+3n+3n^2)=(6n^3+9n^2+n-1)$ .
یعنی هردومون درست میگیم شاید فرمول شما راحت تر هم به ذهن سپرده بشه.