جواب خیلی سر راست است فقط نوشتنش طول میکشه. برای این کار لازمه که شما فرمول های $\sum_i^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ و $\sum_1^n i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{2^2}$ را بلد باشید.
می توانید برای اثبات هر کدام از موارد بالا از اتحاد های $(k+1)^2-k^2=2k+1$ و $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ استفاده کنید.
برای اثبات مساله شما از اتحاد $(k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1$ در اینصورت داریم:
$$k=1\quad 2^5-1^5=5(1)^4+10(1)^3+10(1)^2+5(1)+1\\
k=2\quad 3^5-2^5=5(2)^4+10(2)^3+10(2)^2+5(2)+1\\
k=3\quad 4^5-3^5=5(3)^4+10(3)^3+10(3)^2+5(3)+1\\
.\\
.\\
.\\
k=(n-1)\quad
n^5-(n-1)^5=5(n-1)^4+10(n-1)^3+10(n-1)^2+5(n-1)+1\\
k=n\quad (n+1)^5-n^5=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1\\
$$
اگر طرفین اتحاد های بالا را با هم جمع کنیم داریم:
$(n+1)^5-1^5=5\sum_1^n i^4+10\sum_1^n i^3+10\sum_1^n i^2+5\sum_1^n i+n$
حال چنانچه معادل عبارتهای $\sum_1^n i,\sum_1^n i^2,\sum_1^n i^3$ را قرار دهید و ساده کنید باید به عبارت زیر برسید:
$$\sum_1^n i^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}$$
