به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
197 بازدید
در دبیرستان توسط saderi7 (7,822 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm

می‌دانیم:

$$ \sum_{i=1}^n i= \frac{n(n+1)}{2} $$

همانند مثال بالا فرم بسته‌ی جمع زیر را بدست بیاورید:

$$ \sum_{i=1}^n i ^{4} =?$$
توسط fardina (17,196 امتیاز)
+1
لطفا راهنمای تایپ ریاضی رو بخونید. شما کافیه فقط روی "ریاضی" کلیک کنید بعد بنویسید. لطفا سوالتونو ویرایش کنید.

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)

جواب خیلی سر راست است فقط نوشتنش طول میکشه. برای این کار لازمه که شما فرمول های $\sum_i^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ و $\sum_1^n i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{2^2}$ را بلد باشید.

می توانید برای اثبات هر کدام از موارد بالا از اتحاد های $(k+1)^2-k^2=2k+1$ و $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ استفاده کنید.

برای اثبات مساله شما از اتحاد $(k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1$ در اینصورت داریم:

$$k=1\quad 2^5-1^5=5(1)^4+10(1)^3+10(1)^2+5(1)+1\\ k=2\quad 3^5-2^5=5(2)^4+10(2)^3+10(2)^2+5(2)+1\\ k=3\quad 4^5-3^5=5(3)^4+10(3)^3+10(3)^2+5(3)+1\\ .\\ .\\ .\\ k=(n-1)\quad n^5-(n-1)^5=5(n-1)^4+10(n-1)^3+10(n-1)^2+5(n-1)+1\\ k=n\quad (n+1)^5-n^5=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1\\ $$

اگر طرفین اتحاد های بالا را با هم جمع کنیم داریم:

$(n+1)^5-1^5=5\sum_1^n i^4+10\sum_1^n i^3+10\sum_1^n i^2+5\sum_1^n i+n$

حال چنانچه معادل عبارتهای $\sum_1^n i,\sum_1^n i^2,\sum_1^n i^3$ را قرار دهید و ساده کنید باید به عبارت زیر برسید:

$$\sum_1^n i^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}$$
توسط salahsharifi (41 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina
+2
جواب سوال میشه:
$\frac{n(1+n)(1+2n)(-1+3n^n+3n^2)}{30}$
توسط fardina (17,196 امتیاز)
ویرایش شده توسط wahedmohammadi
+1
@salahsharifi
ممنون برای ارسال دیدگاه.
لطفا فارسی بنویسید چون در غیر اینصورت حذف میشه. اگه با تایپ ریاضی آشنایی ندارید در داخل ویرایشگر بنویسید بعد داخل دیدگاه کپی کنید.
بله کاملا درست میگید چون $(1+2n)(-1+3n+3n^2)=(6n^3+9n^2+n-1)$ .
یعنی هردومون درست میگیم شاید فرمول شما راحت تر هم به ذهن سپرده بشه.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...