جملۀ عمومی دنبالۀ $\big\{2, 8, 40, 240, ...\big\}$ را بدست آورید

Question

جملۀ عمومی دنبالۀ $\big\{2, 8, 40, 240, ...\big\}$ را به‌دست آورید و همچنین مقدار تلاش خود را برای به‌دست آوردن جملۀ عمومی آن کرده و تنها فهمیدم که قدر نسبت یک عامل ضرب است که در هر مرحله یک واحد به آن اضافه می‌شود.

Answer 1

جملۀ عمومی زیر می‌تواند مربوط به دنباله‌ای باشد که چند جمله‌ی ابتدایی‌اش مانند دنبالۀ شما است (شما هیچگونه نظمی برای دنباله‌تان تعریف نکرده‌اید، مگر احتمالاً در ذهن خود) و انتظار دارید دیگران از آنچه در ذهن شما می‌گذرد خبر داشته باشند و بتوانند ذهن شما را بخوانند و جملۀ عمومی دنباله‌تان را بنویسند. با این وجود من هم به نوبۀ خود اقدام به خواندن ذهن شما! کرده‌ام و در زیر دنباله‌ای آورده‌ام که ممکن است صرفا چند جمله‌ی ابتدایی آن با دنباله شما یکسان باشد!

$$\color{black}{a_n=\frac{(n+2)!}{3}}$$

Answer 2

به نام خدا

جملهٔ عمومی دنبالهٔ مورد نظر شما به شکل زیر است:

$$a_n= \frac{ \Gamma (n+3)}{3} = \frac{(n + 2)!}{3} $$

Answer 3

به نام خدا

$$\big\{2, 8, 40, 240, ...\big\}$$

همانطور که خودتان اشاره کردید، «قدر نسبت یک عامل ضرب است که در هر مرحله یک واحد به آن اضافه می‌شود»؛ پس با کمی بررسی می‌توانید یک رابطۀ بازگشتی برای این دنباله بنویسید که به‌صورت زیر است:

$$a_n = (2 + n) \cdot a_{n - 1},\ (a_1 = 2)$$

اکنون برای به‌دست آوردن جملۀ عمومی، کافی است که یک رابطۀ بسته برای این رابطۀ بازگشتی به‌دست آورید. برای این کار بنویسید:

$a_n = (2 + n) \cdot a_{n - 1}$

$\Rightarrow a_n = (2 + n)(1 + n) \cdot a_{n - 2}$

$\Rightarrow a_n = (2 + n)(1 + n)(n) \cdot a_{n - 3}$

$\Rightarrow a_n = (2 + n)(1 + n)(n)(n - 1) \cdot a_{n - 4}$

$\Rightarrow a_n = (2 + n)(1 + n)(n)(n - 1)(n - 2)\cdot ... \cdot\ 2\cdot 1 \cdot a_{n - n}$

$\Rightarrow \boxed{a_n = (n + 2)! \cdot a_0}$

سپس برای به‌دست آوردن $a_0$، $n = 1$ را در $a_n = (n + 2)! \cdot a_0$ قرار دهید:

$a_1 = 3! \cdot a_0$

$\Rightarrow 2 = 6a_0$

$\Rightarrow \boxed{a_0 = \frac{1}{3}}$

بنابراین:

$$a_n = \frac{(n + 2)!}{3}$$