به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
392 بازدید
در دبیرستان توسط mhmdmhdy0011 (7 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

جملۀ عمومی دنبالۀ $\big\{2, 8, 40, 240, ...\big\}$ را به‌دست آورید و همچنین مقدار تلاش خود را برای به‌دست آوردن جملۀ عمومی آن کرده و تنها فهمیدم که قدر نسبت یک عامل ضرب است که در هر مرحله یک واحد به آن اضافه می‌شود.

3 پاسخ

+4 امتیاز
توسط sMs (721 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

جملۀ عمومی زیر می‌تواند مربوط به دنباله‌ای باشد که چند جمله‌ی ابتدایی‌اش مانند دنبالۀ شما است (شما هیچگونه نظمی برای دنباله‌تان تعریف نکرده‌اید، مگر احتمالاً در ذهن خود) و انتظار دارید دیگران از آنچه در ذهن شما می‌گذرد خبر داشته باشند و بتوانند ذهن شما را بخوانند و جملۀ عمومی دنباله‌تان را بنویسند. با این وجود من هم به نوبۀ خود اقدام به خواندن ذهن شما! کرده‌ام و در زیر دنباله‌ای آورده‌ام که ممکن است صرفا چند جمله‌ی ابتدایی آن با دنباله شما یکسان باشد!

$$\color{black}{a_n=\frac{(n+2)!}{3}}$$

+2 امتیاز
توسط
ویرایش شده توسط Math.Al

به نام خدا

جملهٔ عمومی دنبالهٔ مورد نظر شما به شکل زیر است:

$$a_n= \frac{ \Gamma (n+3)}{3} = \frac{(n + 2)!}{3} $$

0 امتیاز
توسط Math.Al (1,461 امتیاز)

به نام خدا

$$\big\{2, 8, 40, 240, ...\big\}$$

همانطور که خودتان اشاره کردید، «قدر نسبت یک عامل ضرب است که در هر مرحله یک واحد به آن اضافه می‌شود»؛ پس با کمی بررسی می‌توانید یک رابطۀ بازگشتی برای این دنباله بنویسید که به‌صورت زیر است:

$$a_n = (2 + n) \cdot a_{n - 1},\ (a_1 = 2)$$

اکنون برای به‌دست آوردن جملۀ عمومی، کافی است که یک رابطۀ بسته برای این رابطۀ بازگشتی به‌دست آورید. برای این کار بنویسید:

$a_n = (2 + n) \cdot a_{n - 1}$

$\Rightarrow a_n = (2 + n)(1 + n) \cdot a_{n - 2}$

$\Rightarrow a_n = (2 + n)(1 + n)(n) \cdot a_{n - 3}$

$\Rightarrow a_n = (2 + n)(1 + n)(n)(n - 1) \cdot a_{n - 4}$

$\Rightarrow a_n = (2 + n)(1 + n)(n)(n - 1)(n - 2)\cdot ... \cdot\ 2\cdot 1 \cdot a_{n - n}$

$\Rightarrow \boxed{a_n = (n + 2)! \cdot a_0}$

سپس برای به‌دست آوردن $a_0$، $n = 1$ را در $a_n = (n + 2)! \cdot a_0$ قرار دهید:

$a_1 = 3! \cdot a_0$

$\Rightarrow 2 = 6a_0$

$\Rightarrow \boxed{a_0 = \frac{1}{3}}$

بنابراین:

$$a_n = \frac{(n + 2)!}{3}$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...