ابتدا نمادگذاری پرسشتان را برای لحظهای فراموش کنید. یک نگاشت به شکل $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ را یک تبدیل موبیوس مینامند. نمودار این تابع دارای یک مجانب افقی و یک مجانب عمودی است و شکل نمودار شبیه به نمودار تابع همسازه یا قرینهٔ آن نسبت به این دو خط به جای محورهای مختصات است (تابع همسازه $\frac{1}{x}$ است و قرینهاش یعنی در منفی یک ضرب شدهباشد). نکتههای بسیار بسیار زیادی در مورد تبدیلهای موبیوس ثابت شدهاند که میتوانید در منبعهای بسیار زیادی ببینید. به هر حال. برای اینکه تصویرِ مجموعهٔ $\mathbb{R}-[x_1,x_2]$ بوسیلهٔ این تابع به یک بازهٔ متناهی مانند $(y_1,y_2)$ نگاشته شود باید چند چیز رخ بدهد:
- مقدار مجانب افقی بین $y_1$ و $y_2$ باشد.
- مقدار مجانب عمودی بین $x_1$ و $x_2$ باشد.
- عددهای $y_1$ و $y_2$ برابر با کمینه و بیشینهٔ مقدارهای $f(x_1)$ و $f(x_2)$ باشند. توجه کنید که نباید ترتیب کدامیک کمینه و کدامیک بیشینه باشد را بدون هیچ دلیلی خودتان انتخاب کنید. (تابع همسازه و قرینهاش را در نظر بگیرید).
اکنون برگردیم به پرسش شما. تابع موبیوس شما مجانبهای افقی و عمودیاش برابر هستند با $y=\frac{a}{2}$ و $x=-\frac{b}{2}$. با توجه به نکتهٔ اشاره شده در بالا دستگاه زیر را دارید.
$$\begin{cases}
1 < -\frac{b}{2} < 3\\
-2 < \frac{a}{2} < 5\\
\min(\frac{a+1}{2+b}, \frac{3a+1}{6+b})=-2\\
\max(\frac{a+1}{2+b}, \frac{3a+1}{6+b})=5
\end{cases}$$
که در واقع حل دو دستگاه است که هر یک با انتخاب اینکه کدام یک از $f(1)$ یا $f(3)$ کمینه شدهاست بوجود میآید. با استفاده از نرمافزار Mathematica به دو پاسخ زیر میرسیم که یکی از آن دو را خودتان محاسبه کردهبودید.
Solve[(a+1)/(2+b)==-2 && (3*a+1)/(6+b)==5 && -6<b<-2 && -4<a<10,{a,b}]
Solve[(a+1)/(2+b)==5 && (3*a+1)/(6+b)==-2 && -6<b<-2 && -4<a<10,{a,b}]
پاسخها
{{a->3,b->-4}}
{{a->-(47/17),b->-(40/17)}}
اکنون برای اینکه شهودی نیز ببینید که پاسخ دوم نیز درست است. نمودار تابعتان را پس از جایگذاری $a=\frac{-47}{17}$ و $b=\frac{-40}{17}$ را نیز در زیر (کشیدهشده بوسیلهٔ Mathematica) آوردهام که قسمت نمودار مربوط به بازهٔ $[1,3]$ با قرمز رسم شدهاست که میبینید خارج از $(-2,5)$ قرار دارد و قسمت دیگر با رنگ آبی است که در $(-2,5)$ میافتد.
