با برهان خلف، فرض کنید معادله گفته شده در اعداد طبیعی دارای جواب باشد. قرار میدهیم:
$a=3k+r$
و
$b=3k'+r'$
که
$r,r'\in \lbrace 0,1,2\rbrace $.
با جایگذاری داریم:
$$(3(k+k')+r+r')(3(2k+k')+2r+r')=3^{2016} $$
بنابراین اعداد $r+r'$ و $2r+r'$ باید بر $3$ بخشپذیر باشند، پس $r=r'=0$. حال با تقسیم طرفین بر $3$ نتیجه میشود
$(k+k')(2k+k')=3^{2014}$
در مجموعه اعداد طبیعی دارای جواب است.
با ادامه همین روند نتیجه میشود معادله
$$(a+b)(2a+b)=3^2$$
در مجموعه اعداد طبیعی دارای جواب است درحالی که جواب ندارد. پس فرض خلف باطل است.
