فرض کنید $( x_{0} , y_{0} , z_{0} )$ جواب معادله بالا در مجموعه اعداد صحیح باشد که همگی صفر نمی باشند . پس $ z_{0}^2=6x_{0}^2-y_{0}^2 $ . حال فرض کنید $d =gcd( x_{0} , y_{0} , z_{0} )$ (منظور از $gcd$ ب,م,م است). پس طبق قضیه ای از نظریه اعداد , اعداد صحیح $( x_{1} , y_{1} , z_{1} )$ وجود دارند که همگی صفر نمی باشند و $ gcd(x_{1} , y_{1}) =gcd(y_{1} , z_{1})=gcd(x_{1} , z_{1})=1$ و داریم :
$$ \begin{cases}x_{0}=dx_{1}\\y_{0}=dy_{1}\\z_{0}=dz_{1}\end{cases} $$
حال با جاگذاری در معادله داریم :
$$ (dz_{1})^2=6(dx_{1})^2-(dy_{1})^2 $$
$$ \Rightarrow (z_{1})^2=6(x_{1})^2-(y_{1})^2 $$
پس $( x_{1} , y_{1} , z_{1} )$ جواب معادله بالاست و دو به دو نسبت به هم اول هستند( یعنی دو به دو هیچ عامل مشترکی به غیر از $1$ ندارند) . حال چون :
$$ z_{1}^2+ y_{1}^2=6 x_{1} ^2 $$ و $ 6 x_{1} ^2 $ عددی زوج است پس $ z_{1}, y_{1} $ دارای زوجیت یکسان هستند یعنی هردو یا فرد هستند یا هر دو زوج هستند اما چون $ z_{1}, y_{1} $ دارای عامل مشترکی جز $1$ نمی باشند پس نمی توانند هر دو زوج باشند پس هر دو فرد هستند . حال طبق قضیه ای از نظریه اعداد اگر $x$ عددی فرد باشد آنگاه $ x^2 \equiv 1(8) $( یعنی $x^2$ به پیمانه 8 همنهشت است با $1$ ) . پس چون $ z_{1}, y_{1} $ هر دو فرد هستند پس
$ z_{1}^2 \equiv 1 , y_{1}^2 \equiv 1 (8) $ . پس :
$$z_{1}^2+ y_{1}^2 \equiv 2 (8) $$
$$ \Rightarrow 6 x_{1} ^2 \equiv 2(8)$$
که تناقض است . زیرا اگر $x$ عددی صحیح باشد آنگاه $x^2 \equiv 0 ,1,4 (8)$ پس $6 x_{1} ^2 \equiv 0,6 (8) $ . پس معادله بالا جوابی غیر از $(0,0,0)$ در مجموعه اعداد صحیح ندارد .
