ثابت کنید که سه تابعک خطی $x-2y$ و $x+y+z$ و $y-3z$ یک پایه برای فضای دوگانِ $\mathbb{R}^3$ تشکیل میدهند.

Question

فرض کنید $V=\mathbb{R}^3$ و تابعک‌های خطی $f_1 ,f_2 ,f_3 \in V^*$ به صورت زیر تعریف شده باشند:

$$\begin{array}{l} f_1(x,y,z) =x-2y\\ f_2(x,y,z)=x+y+y\\ f_3(x,y,z)=y-3z \end{array}$$

نشان دهید $\lbrace f_1,f_2,f_3\rbrace$ یک پایه برای $V^*$ است. پایه $B$ را برای $V$ طوری پیدا کنید که

$$B^*=\{f_1,f_2,f_3\}$$

ممنون میشم برام توضیح بدین یا راهنماییم کنید. نمی‌فهمم چطور حلش کنم.

Comments

@ailin تعریف تابعک‌های خطی را می‌دانید؟ راهنمایی: یک عضوِ دلخواه از مجموعهٔ تابعک‌های خطی بر روی $\mathbb{R}^3$ را چگونه نمایش می‌دهید (می‌نویسید)؟

Answer 1

یک فضای برداری دلخواه مانند $V$ بر روی یک میدان $F$ را در نظر بگیرید. یک تابعک خطی بر روی $V$ یعنی یک تبدیل خطی از $V$ به $F$. مجموعهٔ این تابعک‌های خطی را فضای دوگانِ $V$ می‌گویند و با $V^\star$ نمایش می‌دهند. زمانیکه $V$ دارای بعد متناهی باشد می‌توانید یک پایهٔ متناهی برای آن بردارید، فرض کنید بعدتان $n\in\mathbb{N}$ است و $\lbrace v_1,\dots,v_n\rbrace$ یک پایه برای این فضا. آنگاه هر تبدیلِ خطی از $V$ به $F$ را می‌توان به شکل زیر نمایش داد که $c_i$ها اسکالرهایی ثابت از $F$ هستند، بعلاوه این نمایش یکتا نیز است.

$$\begin{cases} f\;\colon\;V\longrightarrow F\\ f(\lambda_1v_1+\dots+\lambda_nv_n)=c_1\lambda_1+\dots+c_n\lambda_n \end{cases}$$

توجه کنید که مجموعهٔ $\lbrace f_1,\dots,f_n\rbrace$ که برای هر $i$، تابعِ $f_i$ به شکل بالا ولی با این انتخاب که فقط $c_i$ برابر ۱ باشد و سایرِ $c_j$ها ($j\neq i$) برابر صفر باشند یک پایه برای $V^\star$ می‌شود. چرا؟ چون هر تابعک دلخواهی به شکلِ جمعِ خطی‌ای از اینها نوشته می‌شود. فرض کنید یک $f\in V^\star$ دلخواه برداشته‌ایم. آنگاه

$$\begin{align} f(\lambda_1v_1+\dots+\lambda_nv_n) &= c_1\lambda_1+\dots+c_n\lambda_n\\ &= c_1(1\lambda_1+0\lambda_2+\dots+0\lambda_n)+\dots+c_n(0\lambda_1+\dots+0\lambda_{n-1}+0\lambda_n)\\ &= c_1f_1(\lambda_1v_1+\dots+\lambda_nv_n)+\dots+c_nf_n(\lambda_1v_1+\dots+\lambda_nv_n) \end{align}$$

چون $\lambda_1v_1+\dots+\lambda_nv_n$ نمایشِ یک عضوِ دلخواهِ $V$ است پس ثابت کردیم که

$$\begin{align}\forall v\in V\colon f(v) &=c_1f_1(v)+\dots+c_nf_n(v)\\ &=(c_1f_1+\dots+c_nf_n)(v) \end{align}$$

که نتیجه می‌دهد $f=c_1f_1+\dots+c_nf_n$ که همان ادعایی است که داشتیم یعنی هر تابعک خطی دیگری به شکل ترکیب خطی‌ای از این $n$ تابعک نوشته می‌شود. بعلاوه اگر $d_1$ و ... و $d_n$ اسکالرهایی از $F$ باشند که $d_af_a+\dots+d_nf_n=0$ آنگاه باید اثر آن بر روی هر عضو دلخواه از $V$ صفر شود. پس

$$\begin{align} (d_1f_1+\dots+d_nf_n)(\lambda_1v_1+\dots+\lambda_nv_n) &= d_1f_1(\lambda_1v_1+\dots+\lambda_nv_n)+\dots+d_nf_n(\lambda_1v_1+\dots+\lambda_nv_n)\\ &= d_1\lambda_1+\dots+d_n\lambda_n \end{align}$$

پس هر $\lambda_1$ تا $\lambda_n$ای که بدهیم باید $d_1\lambda_1+\dots+d_n\lambda_n=0$ شود. کافی است یک بار $\lambda_1$ را یک و بقیه را صفر دهیم تا به $d_1=0$ برسیم و بار پسین فقط $\lambda_2$ یک و سایرین صفر و ادامه دهیم تا به $d_1=\dots=d_n=0$ برسیم. و این استقلال خطی را نتیجه می‌دهد.

اکنون در پرسش شما یک فضای سه‌بعدی دارید پس $n=3$. و منظور از $x$ و $y$ و $z$ در واقع ضریب‌های پشتِ اعضایِ پایهٔ $V$ای است که انتخاب کرده‌اید، برای نمونه پایهٔ استانداردِ $\mathbb{R}^3$. به شما سه تابعک خطی داده‌شده‌است که برای نمونه یکُمینِ آنها نمایشش به شکل بالا با ضریب‌های $c_1=1$ و $c_2=-2$ و $c_3=0$ انجام شده‌است. برای اینکه پایه باشد چه نیاز دارد؟ ابتدا نشان دهید که هر تابعک خطی دیگری ترکیب خطی‌ای از این سه است، نه؟ خب یک تابعک خطی دلخواه چگونه نمایش داده می‌شود؟

$$f(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3)=c_1\lambda_1+c_2\lambda_2+c_3\lambda_3$$

سه تابعک‌تان را به شکلِ $g_1$ و $g_2$ و $g_3$ نامگذاری کنید. فعلا نمی‌دانیم که تابعک دلخواهِ بالا با چه ضریب‌هایی به شکل ترکیب خطی این سه نوشته می‌شود، پس بیایید این ضریب‌ها را مجهول در نظر بگیرید. سه ضریبی که دنبالشان هستیم را $a_1$ و $a_2$ و $a_3$ نمایش دهید.

$$\begin{align} (a_1g_1+a_2g_2+a_3g_3)(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3) &= a_1g_1(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3)+a_2g_2(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3)+a_3g_3(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3)\\ &= a_1(\lambda_1-2\lambda_2)+a_2(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+a_3(\lambda_2-3\lambda_3)\\ &= (a_1+a_2)\lambda_1+(-2a_1+a_2+a_3)\lambda_2+(a_2-3a_3)\lambda_3 \end{align}$$

با برابر قرار دادن دو عبارت به دستگاه سه برابری-سه مجهولیِ زیر می‌رسیم.

$$\begin{cases} a_1+a_2 = c_1\\ -2a_1+a_2+a_3 = c_2\\ a_2-3a_3=c_3 \end{cases}$$

با حل آن داریم

$$\begin{cases} a_1=\frac{2}{5}c_1-\frac{3}{10}c_2-\frac{1}{10}c_3\\ a_2=\frac{3}{5}c_1+\frac{3}{10}c_2+\frac{1}{10}c_3\\ a_3=\frac{1}{5}c_1+\frac{1}{10}c_2-\frac{3}{10}c_3 \end{cases}$$

پس واقعا ضریب‌هایی وجود دارند که بتوان هر تابعک خطی دلخواهی را به شکل ترکیب خطی آن سه تابعک نوشت. و در آخر می‌ماند اثبات ناوابستگی خطی (مستقل خطی‌بودن). فرض کنید $d_1$ و $d_2$ و $d_3$ باشند که $d_1g_1+d_2g_2+d_3g_3=0$ پس اثر آن بر روی هر عضو از $V$ نیز باید صفر شود یعنی برای هر $\lambda_1$ و $\lambda_2$ و $\lambda_3$ ای باید داشته باشیم

$$(\lambda_1-2\lambda_2)d_1+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)d_2+(\lambda_2-3\lambda_3)=0$$

هدف الآنِ ما چیست؟ می‌خواهیم مقداری برای $\lambda_i$ها ارائه کنیم که باعث شود $d_i$ها تک تک صفر شوند، نه؟ برای نمونه برای اینکه به $d_1=0$ برسیم آیا کافی نیست که کاری کنیم که $\lambda_1-2\lambda_2=1$ و $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0$ و $\lambda_2-3\lambda_3=0$؟ خب این یک دستگاه سه برابری- سه مجهولی نیست؟ پس از حل آن داریم $(\lambda_1,\lambda_2=,\lambda_3)=(\frac{2}{5},\frac{-3}{10},\frac{-1}{10})$. شما را به یاد چیزی نمی‌اندازد؟ دقیقا. این همان ضریب‌هایی است که در قسمت پیشین پاسخ یافتیم. برای دو حالت دیگر $d_2=0$ و $d_3=0$ نیز به طور مشابه به همان ضریب‌ها می‌رسیم. پس در واقع در بخش پیش زحمت محاسبه‌های مورد نیاز این بخش را هم کشیده‌ایم.