محاسبۀ تعداد پاره خط های حاصل که از برخورد وترها به وجود آمده است

Question

در یک دایرۀ داده شده $n$ وتر که بیشتر مساوی ۲ است داده‌شده‌است به گونه‌ای که هیچ سه‌تایی همرس نیستند اگر $m$ تعداد نقاط برخورد وترها و $r$ تعداد پاره خط‌های حاصل از تقسیم وترها توسط نقطه‌های برخورد باشد، $r$ را برحسب $n$ و $m$ بیابید.

جواب $n+2m$. چگونه جواب این شد؟

Comments

جوابتان در لینک زیر نیست؟
https://math.irancircle.com/17073

---

خیر،مسئله ی من در مورد تعداد پاره خط هاست

Answer 1

فرض بر این است که هیچ دو وتری همدیگر را روی خود دایره قطع نمیکنند چون در غیر اینصورت فرمول اشتباه میشود.

از استقرا روی $n$ استفاده می‌کنیم. وقتی $n=2$، آنگاه یا $m=1$ یا $m=0$ که در هر دو حالت تعداد پاره‌خط ها میشود $n+2m$. پس گام استقرا برقرار است. فرض استقرا: برای $n=1$ تا $n=k-1$ فرمول صحیح است. حال فرض کنیم $n=k$ و فرض کنید تعداد نقاط برخورد مساوی با $m$ باشد.

یکی از وتر ها را برمیداریم، طبق فرض استقرا تعداد پاره خط ها مساوی است با $(n-1)+2(m-x)$ که $x$ تعداد نقاط برخوردی است که کم شده(فرضکن$x\ne 0$). حال همان پاره خط را در همان مکان می‌گذاریم. تعداد پاره‌خط های جدیدی که به‌دست می‌آید می‌شود $2x+1$. (درواقع میتوان این‌گونه حساب کرد: از ابتدای وتر حرکت به سوی انتهای وتر میکنیم، به هر نقطه ای که رسیدیم، تولید دوتا پاره‌خط جدید کرده(توضیحش سخته، کافیست فکرکنیم!)، پس وقتی به آخرین نقطه یعنی نقطه $x$-ام می‌رسیم، $2x$ پاره خط جدید داریم، اما وقتی کمی جلو تر میرویم و به انتهای وتر می‌رسیم، یکی دیگر اضافه می‌شود).

حال با قبلی جمع میکنیم: $$(n-1)+2(m-x)\ \ +\ \ 2x+1\ \ =\ \ n+2m $$

Answer 2

به نظرم یه جواب ساده دارد. از آنجا که هر نقطه تلاقی از بر خورد 2 وتر ایجاد می شود وهر کدام به دو قسمت تبدیل می شود یعنی هر نقطه تلاقی موجب می شود که یک پاره خط به وترها اضافه شود یعنی اینکه به هر وتر یک قسمت (پاره خط) اضافه می شود. بنابراین تعداد پاره خط های اضافه شده به تعداد وترها 2m می باشد