به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
122 بازدید
در دبیرستان توسط Elyas1 (2,233 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

در یک دایرۀ داده شده $n$ وتر که بیشتر مساوی ۲ است داده‌شده‌است به گونه‌ای که هیچ سه‌تایی همرس نیستند اگر $m$ تعداد نقاط برخورد وترها و $r$ تعداد پاره خط‌های حاصل از تقسیم وترها توسط نقطه‌های برخورد باشد، $r$ را برحسب $n$ و $m$ بیابید.

جواب $n+2m$. چگونه جواب این شد؟

مرجع: اصول و فنون ترکیبیات. دانش پژوهان جوان
توسط mdgi (1,448 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
جوابتان در لینک زیر نیست؟
https://math.irancircle.com/17073
توسط Elyas1 (2,233 امتیاز)
+1
خیر،مسئله ی من در مورد تعداد پاره خط هاست

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdgi (1,448 امتیاز)
انتخاب شده توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

فرض بر این است که هیچ دو وتری همدیگر را روی خود دایره قطع نمیکنند چون در غیر اینصورت فرمول اشتباه میشود.

از استقرا روی $n$ استفاده می‌کنیم. وقتی $n=2$، آنگاه یا $m=1$ یا $m=0$ که در هر دو حالت تعداد پاره‌خط ها میشود $n+2m$. پس گام استقرا برقرار است. فرض استقرا: برای $n=1$ تا $n=k-1$ فرمول صحیح است. حال فرض کنیم $n=k$ و فرض کنید تعداد نقاط برخورد مساوی با $m$ باشد.

یکی از وتر ها را برمیداریم، طبق فرض استقرا تعداد پاره خط ها مساوی است با $(n-1)+2(m-x)$ که $x$ تعداد نقاط برخوردی است که کم شده(فرضکن$x\ne 0$). حال همان پاره خط را در همان مکان می‌گذاریم. تعداد پاره‌خط های جدیدی که به‌دست می‌آید می‌شود $2x+1$. (درواقع میتوان این‌گونه حساب کرد: از ابتدای وتر حرکت به سوی انتهای وتر میکنیم، به هر نقطه ای که رسیدیم، تولید دوتا پاره‌خط جدید کرده(توضیحش سخته، کافیست فکرکنیم!)، پس وقتی به آخرین نقطه یعنی نقطه $x$-ام می‌رسیم، $2x$ پاره خط جدید داریم، اما وقتی کمی جلو تر میرویم و به انتهای وتر می‌رسیم، یکی دیگر اضافه می‌شود).

حال با قبلی جمع میکنیم: $$(n-1)+2(m-x)\ \ +\ \ 2x+1\ \ =\ \ n+2m $$

+2 امتیاز
توسط amir7788 (1,114 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

به نظرم یه جواب ساده دارد. از آنجا که هر نقطه تلاقی از بر خورد 2 وتر ایجاد می شود وهر کدام به دو قسمت تبدیل می شود یعنی هر نقطه تلاقی موجب می شود که یک پاره خط به وترها اضافه شود یعنی اینکه به هر وتر یک قسمت (پاره خط) اضافه می شود. بنابراین تعداد پاره خط های اضافه شده به تعداد وترها 2m می باشد


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...