به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
6,857 بازدید
در دبیرستان توسط mycroft (24 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm

بر روی دایره ای 10 نقطه داریم، اگر تمامی وترها ی ممکن ایجادشده توسط این نقاط را رسم کنیم حداکثر تعداد نقاط برخورد بین این وتر ها کدام است ؟

توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+1
@mycroft شما ۸ ماه در اینجا عضو بودید و در پرسشی که قبلا پرسیده بودید نیز عنوان را نامناسب گذاشته بودید مانند اینجا. دفعهٔ پیش در قالب دیدگاه برایتان گفتم و عنوان را برایتان ویرایش کردم. لطفا روی علامت مدادشکل زیر پرسش‌تان کلیک کنید و عنوان پرسش‌تان را ویرایش کنید. عنوان پرسش باید پرسش‌تان را به طور یکتا مشخص کند و به خواننده برساند که چه چیزی در پرسش است نه اینکه اسم درس بنویسید! برچسب «جایگشت» نیز به پرسش‌تان مرتبط نیست، آن را حذف کنید. در ضمن پاسخی که @MSS برای پرسش پیشین‌تان نوشتند را اصلا خوانده‌اید؟ اگر بلی چرا نه امتیاز نه تیک تأیید و نه دیدگاهی در زیر آن توسط شما گذاشته‌شده‌است؟ زمانی که یک کاربر به پرسش شما پاسخ می‌دهد این وظیفهٔ شماست که در صورت مفید بودن امتیاز، در صورت درست‌بودن تأیید و در صورت نادرست بودن یا متوجه نشدن چیزی از آن در زیرش مشکل‌تان را در قالب دیدگاه بنویسید.
توسط aaa (216 امتیاز)
+1
میشه منبع سوال رو بگید
توسط mycroft (24 امتیاز)
–1
از منبع سوال آگاهی ندارم

4 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
انتخاب شده توسط mycroft
 
بهترین پاسخ

بین دو نقطه دلخواه یک وتر داریم. وتر هایی این وتر را قطع می کنند که از هیچ یک از رئوس وتر اولیه نگذرند. تعداد آنها برابر انتخاب 2 از 8 است. تعداد کل وتر ها برابر انتخاب 2 از 10 است. اگر حاصل را بر 2 تقسیم کنیم جواب مساله بدست می آید(دلیل تقسیم بر دو شدن این است که نقطه برخورد مال هر دو وتر است و برای هر دو حساب شده است.)

چواب: $$ \frac{a {8\choose{2} } \times {10\choose{2} }}{2}$$

امکان دارد دو وتر موازی باشند ولی چون مقدار حداکثر را خواسته است. فرض را بر این میگیریم که هیچ دو وتری موازی نیستند. می تواند دو وتر با وتر اولیه در یک نقطه متقاطع باشند. چون حداکثر را می خواهیم فرض را بر این می گیریم که نقطه مشترک ندارند.


هر وتر دلخواه نقاط روی دایره را به دوقسمت(دو طرف پاره خط) تقسیم می کند.. اگر از نقاطی که در یک طرف وتر قرار دارند وتری را رسم کنیم این دو وتر یکدیگر را قطع نمی کنند. پس باید از هر طرف وتر یک نقطه انتخاب شود.

ما انواع وتر مختلف داریم در هر کدام تعداد وتر های متقاطع را حساب می کنیم.

نوع اول دو نقطه سر وتر متوالی باشند. در این حالت تمام 8 نقطه باقیمانده در یک طرف وتر هستند. پس هیچ یک از وتر های دیگر این وتر را قطع نمی کند.

نوع دوم به صورت 1 به 7 باشد در اینصورت 7 وتر با این وتر متقاطع است.

نوع سوم به صورت 2 به 6 باشد در این حالت 12 وتر متقاطع داریم.

نوع چهارم به صورت 3 به 5 باشد. در این حالت 15 وتر متقاطع داریم.

نوع آخر به صورت 4 به 4 باشد در این حالت 16 وتر متقاطع با این وتر موجود است.

از هر نوع وتر 10 تا وجود دارد از نوع آخر ۵ تا وجود دارد پس کران بالای نقاط تقاطع برابر $ \frac{10 \times (0+7+12+15)+5×16}{2} $ است.

شاید کران بالای بهتری هم موجود باشد.

توسط aaa (216 امتیاز)
+2
@erfanm
اما همواره هستند دو نقطه که در یک طرف وتر فرضی قرار دارند و وتر فرضی را قطع نمی کنند.
برای مثال برای 6 نقطه جواب میشود 15 تا ولی اگر با راه حل شما برویم جواب بزرگتر می شود.
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
+1
بلی حق با شماست
خودم هم بمتوجه شدم
ولی فرصت نکردم جواب بهتر رو بذارم
در اولین فرصت اصلاحش میکنم
ممنون
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm
یک کران بالای بهتر رو نوشتم.
روی این فکر می کنم که آیا کران بالای بهتری هم وجود دارد یا نه.
0 امتیاز
توسط yamahdi (1 امتیاز)

سلام من این سوال را به صورت دیگه ای دیده ام که n نقطه روی محیط یک دایره قرار دارند همه وترهای بین هر جفت از این نقاط را رسم میکنیم با فرض اینکه هیچ سه وتری درون دایره همرس نیستند تعداد نقاط تقاطع حاصل از رسم وترها درون دایره را بیابید

حل : اولین نکته ای که باید دقت کنیم این هست که سوال از ما تعداد نقاطی را می‌خواهد که بعد از رسم وتر ها ایجاد میشه پس نقاط موجود روی دایره را نباید حساب کرد

با توجه به این که هر دو وتری که از دو جفت نقطه متفاوت هستند در یک نقطه هم را قطع می کنند پس می‌توانیم تعداد نقاط ایجاد شده را با تعداد حالاتی که می‌توانیم 4 نقطه از n نقطه را انتخاب کنیم برابر بگیریم.

به بیان دیگه برای اینکه یک نقطه ایجاد بشه باید دو تا وتر باشند که هم را قطع کنند و این دوتا وتر از چهار نقطه متمایز ایجاد می‌شوند و کافی است ما تعداد حالاتی را بدست بیاوریم که چهار نقطه از n نقطه را می‌توانیم انتخاب کنیم

اما مسئله ای که میمونه این هست که شاید بگویید خب اگر چهار تا نقطه ای که انتخاب میشه وتر هایی که تشکیل می‌دهند درون دایره هم دیگر را قطع نکنند، اونوقت چی؟ باید بگم که هر چهار نقطه ای که انتخاب کنیم سه جفت(شش تا) وتر ایجاد می کنه یک جفتشون(دو تا) درون دایره متقاطع اند و اون چهار جفت دیگه نه پس ما با انتخاب 4 از n درواقع اون حالتی را که وتر ها درون دایره (نه روی محیط دایره) متقاطع اند حساب می کنیم

پس جواب مسئله ای که نوشتم می‌شود انتخاب 4 از n که یک فرمول کلی هست و جواب مسئله شما نیز هست با تشکر

0 امتیاز
توسط Alighotbi (21 امتیاز)

با سلام از یک نقطه شروع میکنیم، دو وتر با نقاط کناری خود میسازد که هیچ برخوردی با دیگر وترها ندارند، از یک طرف شروع به چرخش میکنیم، در یک طرف این وتر یک نقطه و در طرف دیگر آن ۷ نقطه وجود دارد، در نتیجه ۷ برخورد خواهیم داشت(۷×۱)، در مرحله بعد ۲ نقطه یک طرف و ۶ نقطه طرف دیگر در نتیجه ۱۲=۶×۲ برخورد، به همین ترتیب: 1×7 + 2×6 + 3×5 + 4×4 + 5×3 + 6×2 + 7×1 = 84 توضیحات تصویر

در مرحله بعد سراغ نقطه کناری نقطه اول رفته و تمامی وترها و برخوردها را بررسی میکنیم داریم، مانند مرحله قبل ۷×۱ برخورد اما تکراری، ۶×۲ برخورد که ۶×۱ برخورد آن در مرحله قبل حساب شد به همین ترتیب داریم: ۱×۶ + ۲×۵ + ۳×۴ + ۴×۳ + ۵×۲ + ۶×۱

توضیحات تصویر

به همین ترتیب داریم :

۱×۵ + ۲×۴ + ۳×۳ + ۴×۲ + ۵×۱

۱×۴ ...

۱×۳ ...

۱×۲ ...

۱×۱

جمعا داریم ۲۱۰ نقطه، که اگر برخوردهای روی محیط دایره را هم حساب کنیم: ۱۰ نقطه برخورد جمعا ۲۲۰ نقطه؛ البته باید توجه داشت حداکثر نقازط برخورد است و در صورتی که برخی محل برخورد وترها مشترک شوند، تعداد نقاط برخورد کاهش می‌یابد.

0 امتیاز
توسط amir7788 (2,972 امتیاز)

هر چهار ضلعی محاطی که از این نقاط درست کنید اقطارش(دو وتر) یک نقطه تلاقی دارد. بنابراین جواب برابر است با $$ \binom{10}{4} $$

توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+1
@amir7788 از کجا معلوم که دو تقاطع بر روی هم نیافتند؟ چیزی که یافتید یک کران بالا است ولی اثباتی بر اینکه این کران بالا اتخاذ می‌شود نداده‌اید پس هنوز پاسخ ناقص است. ساده‌ترین راه برای تکمیل این پاسخ زدن یک مثال است که دقیقا این تعداد نقطهٔ برخورد را اتخاذ کند یا اگر موجود نیست آنگاه دنبال کران بالای کوچکتری بود.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...